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Vidéo question :: Trouver le vecteur de moment d’une force inclinée, autour de l’origine, en trois dimensions Mathématiques • Troisième année secondaire

Sur la figure ci-dessous, une force d'intensité 23√2 newtons agit en un point 𝐴. Déterminez le vecteur moment de la force par rapport à l’origine 𝑂 en N⋅m.

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Transcription de la vidéo

Sur la figure ci-dessous, une force d'intensité 23 racine de deux newtons agit en un point 𝐴. Déterminez le vecteur moment de la force par rapport à l’origine 𝑂 en newton mètres.

En regardant le schéma fourni, nous pouvons voir que nous avons un objet composé d’une base et de deux colonnes, une sur l’autre. Et un fil relie le haut de cet objet en un point marqué 𝐴 à un point 𝐷 sur le sol. La tension dans ce fil exerce une force au point 𝐴 de 23 fois racine de deux newtons. Et tout ce système est positionné sur un ensemble d’axes 3D, avec l’axe des 𝑥 pointant vers l’extérieur de l’écran, l’axe des 𝑦 pointant vers la droite et l’axe des 𝑧 pointant vers le haut.

Notre travail consiste à trouver le vecteur moment de la force autour de l’origine 𝑂. En d’autres termes, nous voulons trouver le vecteur qui décrit le moment qui est entraîné par la force agissant en 𝐴. Pour ce faire, nous pouvons utiliser cette équation. Cela nous indique que le vecteur moment 𝐌, qui est entraîné par une force agissant à une certaine distance d’un point, est égal au produit vectoriel entre un vecteur de déplacement 𝐑 et un vecteur de force 𝐅.

Alors, le vecteur de force 𝐅 est simplement le vecteur de force qui produit le moment. Donc, dans cette question, c’est la force de 23 fois racine deux newtons qui agit en 𝐴. Le vecteur 𝐑 est le vecteur de déplacement du point auquel la force agit, par rapport au point autour duquel nous calculons les moments.

Donc, dans cette question, puisque la force agit en 𝐴 et que nous voulons calculer le moment autour de l’origine 𝑂, le vecteur 𝐑 qui nous intéresse est le vecteur qui nous emmène de 𝑂 à 𝐴. Donc, en utilisant la notation vectorielle, on peut dire que le vecteur 𝐑 est égal au vecteur 𝐎𝚨.

Alors, afin de calculer le produit vectoriel de 𝐑 et 𝐅, nous devons connaître leurs composantes 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Et pour les calculer, nous pouvons utiliser les informations fournies sur le schéma. Commençons donc par trouver les composantes du vecteur 𝐑.

Nous avons précédemment noté que 𝐑 est égal au vecteur 𝐎𝚨. Et nous avons tracé cela sur notre schéma en orange. Nous pouvons voir que ce vecteur pointe verticalement vers le haut, en d’autres termes dans le sens des 𝑧 positifs. Et nous pouvons également voir qu’il mesure cinq mètres de long. En d’autres termes, ce vecteur a une composante 𝑥 de zéro, une composante 𝑦 de zéro et une composante 𝑧 de plus cinq. Donc, en notation vectorielle, nous pouvons écrire ce vecteur comme zéro 𝐢 plus zéro 𝐣 plus cinq 𝐤. Et puisque ces deux termes sont nuls, nous pouvons simplement écrire 𝐑 comme cinq 𝐤.

Ensuite, nous devons trouver les composantes du vecteur 𝐅, que nous avons tracées en bleu sur le schéma. Calculer les composantes de 𝐅 est un peu plus délicat que calculer les composantes de 𝐑. Commençons par écrire ce que nous savons sur 𝐅. Eh bien, tout d’abord, on nous a dit que son intensité est de 23 fois racine de deux newtons. Et parce que ce vecteur de force provient de la tension dans le fil qui relie les points 𝐴 et 𝐷, nous savons que le vecteur 𝐅 agit vers 𝐷 à partir de 𝐴. En d’autres termes, on pourrait dire que le vecteur 𝐅 est parallèle au vecteur 𝚨𝐃.

À ce stade, il est important de noter que bien que 𝐅 agisse selon 𝚨𝐃, ce n’est pas égal à 𝚨𝐃. 𝐅 est un vecteur de force et 𝚨𝐃 est un vecteur de déplacement. Ainsi, l’intensité de 𝐅 n’a rien à voir avec la norme de 𝚨𝐃.

Ensuite, les deux assértions que nous venons de faire décrivent l’intensité, la direction et le sens de 𝐅. Mais pour calculer les composantes de 𝐅, nous devons décrire mathématiquement la direction et le sens dans lesquels 𝐅 agit. Nous savons que c’est parallèle à 𝚨𝐃. Commençons donc par trouver les composantes de 𝚨𝐃.

Le vecteur 𝚨𝐃 décrit le déplacement qui devrait avoir lieu pour nous amener de 𝐴 à 𝐷. Afin de faire ce voyage, nous aurions besoin de parcourir cinq mètres dans le sens des 𝑧 négatifs, trois mètres dans le sens des 𝑥 positifs et quatre mètres dans le sens des 𝑦 positifs. Cela signifie que le vecteur 𝚨𝐃 a une composante 𝑧 de moins cinq, une composante 𝑥 de trois et une composante 𝑦 de quatre. Ainsi, en utilisant la notation vectorielle, nous pouvons écrire le vecteur 𝚨𝐃 comme trois 𝐢 plus quatre 𝐣 moins cinq 𝐤. Nous savons donc que 𝐅 pointe dans la direction et le sens de ce vecteur, mais il a une intensité de 23 racine de deux.

À ce stade, il peut être utile de réfléchir à ce que signifie que deux vecteurs soient parallèles. Si 𝐅 est parallèle à 𝚨𝐃, cela signifie en fait que nous pouvons obtenir 𝐅 en mettant à l’échelle 𝚨𝐃. En d’autres termes, puisque les deux vecteurs pointent dans la même direction et le même sens, alors si nous devions mettre à l’échelle ou étirer 𝚨𝐃 de la bonne quantité, alors elle serait en fait égale à 𝐅. Mathématiquement, nous le faisons en multipliant le vecteur 𝚨𝐃 par une constante scalaire, que nous pourrions appeler 𝐾. En d’autres termes, nous le multiplions simplement par un nombre.

Nous pouvons donc obtenir 𝐅 en multipliant simplement ce vecteur 𝚨𝐃 par un nombre tel que son intensité devient 23 fois racine de deux. Mais quel est ce nombre ? Quelle est la constante scalaire que nous devons multiplier par pour obtenir 𝐅 ? Une façon de le comprendre est de trouver le vecteur unitaire qui pointe dans la direction et le sens de 𝚨𝐃. Appelons ce vecteur unitaire 𝐮 pour montrer qu’il s’agit d’un vecteur unitaire.

Rappelez-vous qu’un vecteur unitaire a une norme égale à un. Donc, si nous pouvons trouver ce vecteur unitaire puis le multiplier par 23 fois racine de deux, cela nous donnera le vecteur qui pointe dans la même direction et le même sens mais qui a une norme de 23 fois racine de deux. En d’autres termes, cela nous donnera 𝐅. Heureusement, trouver le vecteur unitaire qui pointe dans la direction et le sens de 𝚨𝐃 est relativement simple. Nous le faisons en divisant 𝚨𝐃 par sa propre norme. On peut donc dire que le vecteur unitaire 𝐮 est égal à 𝚨𝐃 divisé par la norme de 𝚨𝐃.

Nous pouvons trouver la norme de 𝚨𝐃 en utilisant la forme tridimensionnelle du théorème de Pythagore. Cette valeur est donnée par la racine carrée de la composante 𝑥 au carré plus la composante 𝑦 au carré plus la composante 𝑧 au carré. Pour simplifier le dénominateur de cette expression, trois au carré est neuf, quatre au carré est 16 et moins cinq au carré est 25. Et neuf plus 16 plus 25 est égale à 50.

Alors, 50 n’est pas un nombre carré. Donc, la racine de 50 n’a pas de réponse entière. Cependant, il est possible de simplifier davantage le dénominateur. La racine carrée de 50 peut s’écrire comme la racine carrée de 25 fois deux. Et cela peut être écrit comme la racine carrée de 25 multipliée par la racine carrée de deux. La racine carrée de 25 est cinq. Nous avons donc montré que le vecteur unitaire 𝐮, qui est le vecteur unitaire pointant dans la direction et le sens du vecteur 𝚨𝐃, est égal à 𝚨𝐃 divisé par cinq fois racine de deux, où cinq fois racine de deux est la norme de 𝚨𝐃. Et puisque nous avons montré que 𝐅 est égal à 23 fois racine de deux fois 𝐮, cela signifie que 𝐅 est égal à 23 fois racine deux fois 𝚨𝐃 sur cinq fois racine de deux.

Nous pouvons simplifier cela en l’écrivant comme 23 fois racine de deux sur cinq fois racine de deux fois 𝚨𝐃, puis en simplifiant un facteur de racine de deux au numérateur et au dénominateur, ce qui nous donne 𝐅 égal à 23 sur cinq fois 𝚨𝐃. Nous avons donc montré que multiplier le vecteur 𝚨𝐃 par cette constante scalaire, 23 sur cinq, nous donne 𝐅.

Alors calculons ensuite les composantes de 𝐅 en multipliant chaque composante de 𝚨𝐃 par 23 sur cinq. Cela nous donne une composante 𝑥 de trois 𝐢 fois 23 sur cinq, une composante 𝑦 de quatre 𝐣 fois 23 sur cinq, et une composante 𝑧 de moins cinq 𝐤 fois 23 sur cinq. En simplifiant chacun de ces termes, trois 𝐢 fois 23 sur cinq est 13,8𝐢. Quatre 𝐣 fois 23 sur cinq est 18,4𝐣. Et moins cinq 𝐤 fois 23 sur cinq est moins 23𝐤. Nous avons donc trouvé les composantes de 𝐅.

Nous savions que 𝐅 avait une intensité de 23 fois racine de deux et qu’il pointait dans la direction et le sens du vecteur 𝚨𝐃. Donc, en trouvant le vecteur unitaire qui pointe le long de 𝚨𝐃 et en le multipliant par 23 fois racine de deux, nous avons obtenu 𝐅 égale 13,8𝐢 plus 18,4𝐣 moins 23𝐤.

Étant donné que nous avons trouvé les composantes des vecteurs 𝐑 et 𝐅, tout ce que nous devons faire est de calculer ce produit vectoriel. Et cela nous indiquera le vecteur moment 𝐌. Le produit vectoriel de 𝐑 et 𝐅 est donné par ce déterminant trois-trois, où les éléments de la rangée supérieure sont les vecteurs unitaires 𝐢, 𝐣 et 𝐤. Les éléments de la rangée du milieu sont les composantes 𝑥, 𝑦 et 𝑧 du vecteur de déplacement 𝐑, écrites sans vecteurs unitaires. Et les éléments de la rangée du bas sont les composantes 𝑥, 𝑦 et 𝑧 du vecteur force 𝐅, également écrites sans vecteurs unitaires.

Notez que lorsque nous écrivons le produit vectoriel, l’ordre dans lequel les deux vecteurs sont écrits affecte la position dans ce déterminant. Ainsi, le premier vecteur écrit 𝐑 va dans la rangée du milieu, et le deuxième vecteur 𝐅 va dans la rangée du bas. Cela signifie que le produit vectoriel de 𝐑 et 𝐅 n’est pas le même que le produit vectoriel de 𝐅 et 𝐑. Donc, chaque fois que nous rappelons cette formule, nous devons faire attention à nous rappeler l’ordre de 𝐑 et 𝐅.

Substituons les valeurs numériques des éléments de ce déterminant. En commençant par les composantes de 𝐑, nous pouvons voir qu’il a une composante 𝑥 de zéro, une composante 𝑦 de zéro et une composante 𝑧 de cinq. Ensuite, en regardant le vecteur 𝐅, celui-ci a une composante 𝑥 de 13,8, une composante 𝑦 de 18,4 et une composante 𝑧 de moins 23.

Ce déterminant est effectivement calculé en trois parties. Premièrement, nous avons le vecteur unitaire 𝐢 multiplié par zéro fois moins 23 moins cinq fois 18,4. Ensuite, nous soustrayons le vecteur unitaire 𝐣 multiplié par zéro fois moins 23 moins cinq fois 13,8. Et enfin, nous ajoutons le vecteur unitaire 𝐤 multiplié par zéro fois 18,4 moins zéro fois 13,8.

Ensuite, il suffit de simplifier chaque terme. En commençant par le terme 𝐢, nous avons zéro fois moins 23, qui est zéro. Et nous soustrayons cinq fois 18,4, ce qui équivaut à 92. Zéro moins 92 est moins 92. Donc, ce terme se simplifie en moins 92𝐢. Ensuite, en regardant le terme 𝐣, nous avons moins 𝐣 multiplié par zéro fois moins 23 - c’est zéro - moins cinq fois 13,8, ce qui est 69. Zéro moins 69 est moins 69, et moins 𝐣 fois moins 69 est plus 69𝐣. Enfin, en regardant le terme 𝐤, nous avons 𝐤 multiplié par zéro fois 18,4, ce qui est zéro, moins zéro fois 13,8, qui est aussi zéro. Zéro moins zéro est zéro, et 𝐤 fois zéro est zéro. Donc, ce terme disparaît. Nous avons donc maintenant trouvé les composantes de notre vecteur de moment 𝐌.

Nous pouvons également noter que parce que nous avons trouvé le vecteur moment 𝐑 en mètres et le vecteur force 𝐅 en newtons, notre réponse, que nous avons obtenue en trouvant le produit vectoriel de 𝐑 et 𝐅, est exprimée en newton mètres comme spécifié dans la question.

Donc, voici notre réponse finale. Le vecteur de moment autour de l’origine produit par la force représentée sur le schéma est égal à moins 92𝐢 plus 69𝐣.

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