Transcription de la vidéo
Sachant que le vecteur 𝐀 a les composantes moins cinq, moins neuf, moins un et que le vecteur 𝐁 a les composantes deux, moins un, moins sept, déterminez le produit vectoriel de 𝐀 et 𝐁.
Le produit vectoriel de deux vecteurs peut être calculé comme le déterminant d’une matrice trois fois trois où les éléments de la première ligne de la matrice sont les vecteurs unitaires 𝐢, 𝐣 et 𝐤 pointant respectivement dans les directions des 𝑥, 𝑦, et 𝑧. Les éléments de la deuxième ligne de la matrice sont les composantes du premier vecteur du produit vectoriel, donc le vecteur 𝐀 de composantes moins cinq, moins neuf et moins un. Et la troisième et dernière ligne de la matrice contient les composantes du deuxième vecteur du produit vectoriel, le vecteur 𝐁 de composantes deux, moins un et moins sept.
Nous avons maintenant un déterminant trois fois trois. Et nous pouvons le calculer en le développant selon la première ligne. Le premier élément de la première ligne est le vecteur 𝐢 et le mineur de 𝐢 est le déterminant de la matrice obtenue en supprimant de la matrice d’origine la ligne et la colonne contenant 𝐢. C’est donc le déterminant de la matrice moins neuf, moins un, moins un, moins sept. Donc le premier terme de notre développement est le déterminant de moins neuf, moins un, moins un, moins sept fois le vecteur 𝐢.
Le terme suivant vient de l’élément suivant dans la première ligne de la matrice qui est 𝐣 multiplié par son mineur, le déterminant de moins cinq, moins un, deux, moins sept. Et on rappelle qu’il faut soustraire ce terme.
Et le dernier terme vient du dernier élément de la première ligne de notre matrice, c’est-à-dire 𝐤, multiplié par son mineur, le déterminant de moins cinq, moins neuf, deux, moins un. Et cette fois-ci, on ajoute ce terme.
Nous avons ainsi développé le déterminant trois fois trois selon la première ligne, et nous pouvons maintenant calculer chaque terme de cette expression. On calcule d’abord le premier déterminant en multipliant les deux éléments de la diagonale principale, soit moins neuf et moins sept, comme ceci. Auquel on soustrait le produit des deux autres éléments, moins un et moins un. Il s’agit donc du déterminant de la première sous-matrice. Et rappelez-vous que le premier terme de l’expression est ce déterminant fois 𝐢. On calcule ensuite moins neuf fois moins sept moins moins un fois moins un, ce qui fait 62. Le premier terme est donc 62𝐢.
Et en répétant ce raisonnement pour les deux autres termes, nous obtenons une réponse finale de 62𝐢 moins 37𝐣 plus 23𝐤. Sous forme de composantes, ce produit vectoriel est le vecteur 62, moins 37, 23.
