Vidéo question :: Déterminer s’il existe le point d’inflexion de la courbe d’une fonction du second degré Mathématiques

Transcription de la vidéo

Déterminez les points d’inflexion de la courbe 𝑦 est égal à 𝑥 au carré plus deux 𝑥 moins cinq.

Tout d’abord, rappelons-nous ce qu’est un point d’inflexion. C’est un point où la concavité change. Nous allons de convexe à concave ou de concave à convexe. Pour identifier les points d’inflexion, nous utilisons la dérivée seconde. Visualisons alors pourquoi la dérivée seconde nous aide à trouver les points d’inflexion.

Si ceci est la courbe représentative d’une fonction 𝑓, pas nécessairement notre fonction, nous pouvons voir que cette partie de la courbe est concave et que cette partie est convexe. Donc, le point entre les deux est un point d’inflexion. Lorsque la courbe est concave, la pente diminue. Et là où la courbe est convexe, la pente augmente. Donc, si nous représentons graphiquement la dérivée de cette fonction 𝑓 prime qui est la fonction de la pente, cela ressemblerait à ceci. Lorsqu’elle décroît la courbe de 𝑓 est concave. Et après le point d’inflexion, elle croît où la courbe de 𝑓 est convexe.

Qu’en est-il de la dérivée seconde? Eh bien, la pente de la courbe de 𝑓 prime de 𝑥 est négative avant le point d’inflexion et positive après. Qu’est-ce que cela nous dit alors? Un point d’inflexion se produit lorsque la dérivée seconde change de signe de négatif à positif ou de positif à négatif. C’est donc la raison pour laquelle la dérivée seconde nous aide à trouver les points d’inflexion. Allons de l’avant et trouvons notre dérivée seconde.

Pour ce faire, rappelons-nous la règle de dérivation des puissances selon laquelle la dérivée de 𝑎𝑥 à la puissance 𝑛 est 𝑛𝑎𝑥 à la puissance 𝑛 moins un. Ainsi, pour notre fonction de 𝑥, 𝑥 au carré plus deux 𝑥 moins cinq, 𝑓 prime de 𝑥 est égale à deux 𝑥 plus deux. C’est parce que 𝑥 seul est égal à 𝑥 à la puissance un. La dérivée de deux 𝑥 est donc égale à deux. Et les dérivées de constantes comme moins cinq sont égales à zéro. Et maintenant, nous allons encore dériver pour obtenir notre dérivée seconde. Cela nous donne que 𝑓 double prime de 𝑥 égale deux.

Rappelez-vous que nous avons dit que pour trouver des points d’inflexion, nous recherchons des points où la fonction dérivée seconde change de signe. Mais comme nous avons une constante positive, alors qu’est-ce que cela signifie? Eh bien, 𝑓 de 𝑥 est convexe là où la dérivée seconde est positive. Comme la dérivée seconde est une constante, elle ne peut pas changer de signe. Ainsi, la courbe de 𝑦 doit toujours être convexe. Et comme la concavité ne change pas, nous concluons donc que la courbe n’a pas de points d’inflexion. En fait, si nous dessinons une esquisse de cette fonction, nous pouvons voir que la courbe est toujours convexe. Il n’y a pas de points d’inflexion sur cette courbe.