Transcription de la vidéo
Soient 𝐴 le point de coordonnées moins sept, 𝑥 et 𝐵 le point de coordonnées neuf,
14 tels que 𝐴𝐵 égale quatre racine carrée de 17 unités de longueur ; trouvez
toutes les valeurs possibles de 𝑥.
Commençons par réfléchir à ce problème de manière géométrique. Voici le point 𝐵 de coordonnées neuf, 14. Il se situe dans le premier quadrant. Nous savons de plus que le point 𝐴 a une abscisse de moins sept. Cela signifie que 𝐴 doit se trouver quelque part sur la droite 𝑥 égale moins
sept. Sachant que le point A est à une distance de 𝐵 de quatre racine carrée de 17, il
peut se situer à deux positions possibles. L’une d’entre eux est probablement un peu au-dessus à gauche du point 𝐵 et l’autre
un peu en dessous à gauche. Mais nous ne savons pas pour le moment si l’un de ces points se trouve en dessous de
l’axe des abscisses. Le schéma n’est pas assez précis pour cela. Nous savons cependant que nous recherchons deux valeurs possibles de 𝑥. Donc comment pouvons-nous les trouver ?
Soient deux points sur le repère de coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux. La distance entre eux peut être calculée grâce au théorème de Pythagore. Elle est 𝑑 égale racine carrée de 𝑥 deux moins 𝑥 un le tout au carré plus 𝑦 deux
moins 𝑦 un le tout au carré. Et peu importe quel point est 𝑥 un, 𝑦 un et quel point est 𝑥 deux, 𝑦 deux. Supposons donc que 𝑥 un, 𝑦 un est moins sept, 𝑥 et que 𝑥 deux, 𝑦 deux est neuf,
14. La distance entre ces deux points est alors égale à racine carrée de neuf moins moins
sept le tout au carré plus 14 moins 𝑥 le tout au carré. On peut simplifier un peu en reconnaissant que neuf moins moins sept égale 16. On obtient donc 256, soit 16 au carré, plus 14 moins 𝑥 le tout au carré sous la
racine. On rappelle ensuite que la longueur entre 𝐴 et 𝐵 est égale à quatre racine carrée
de 17 unités de longueur. Donc toute cette expression doit être égale à quatre racine carrée de 17.
Nous devons résoudre cette équation pour trouver 𝑥. On commence donc en élevant les deux membres au carré. En faisant cela, quatre racine carrée de 17 au carré égale 16 fois 17, ce qui fait
272. Et sur le membre droit, on a simplement 256 plus 14 moins 𝑥 au carré. On peut alors utiliser deux méthodes pour résoudre cette équation. On pourrait la manipuler pour qu’elle soit égale à zéro et la résoudre comme toute
autre équation du second degré. Mais nous allons ici voir ce qui se passe si on soustrait 256 aux deux membres. Si on soustrait 256, l’équation devient alors 16 égale 14 moins 𝑥 le tout au
carré. Pour déterminer 𝑥, on prend la racine carrée des deux membres. Mais cela signifie que l’on doit conserver la racine carrée positive et la racine
carrée négative de 16. On obtient ainsi plus ou moins racine carrée de 16 égale 14 moins 𝑥. Et bien sûr, racine carrée de 16 égale quatre. Ce qui donne plus ou moins quatre égale 14 moins 𝑥.
Nous devons maintenant diviser cela en deux équations distinctes. La première est quatre égale 14 moins 𝑥, et la seconde est moins quatre égale 14
moins 𝑥. Pour ces deux équations, on soustrait 14 à chaque membre. Cela nous donne respectivement moins 10 égale moins 𝑥 et moins 18 égale moins
𝑥. Enfin, on multiplie par moins un et on obtient les valeurs de 𝑥. Elles sont 𝑥 égale 10 et 𝑥 égale 18. Voici donc les valeurs possibles de 𝑥. 𝑥 peut être égal à 10 ou à 18.