Vidéo de la leçon: Trigonométrie dans un triangle rectangle : déterminer la mesure d'un angle Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer la mesure d’un angle inconnu dans un triangle rectangle en utilisant la réciproque de la fonction trigonométrique appropriée sachant deux longueurs de côté.

Commençons par rappeler une partie du vocabulaire lié aux triangles rectangles. Soit un triangle rectangle dont un des angles non droits est désigné par 𝜃. On donne des noms dédiés aux côtés du triangle par rapport à cet angle. Le côté du triangle qui est directement opposé à l’angle droit et qui est toujours le côté le plus long du triangle, s’appelle l’hypoténuse. Par rapport à l’angle 𝜃, le côté en face de cet angle est appelé le côté opposé. Le dernier côté du triangle, qui se trouve entre l’angle 𝜃 et l’angle droit, est appelé le côté adjacent. Les noms de ces trois côtés sont souvent abrégés par Opp, Adj et Hyp ou simplement par O, A et H.

Les trois formules trigonométriques sinus, cosinus et tangente décrivent les quotients entre différentes longueurs de côté dans un triangle rectangle. Pour une valeur fixe de 𝜃, le quotient entre chaque paire de longueurs de côté est toujours constant, quelle que soit la taille du triangle. On peut utiliser l’acronyme SOH CAH TOA pour se souvenir des définitions des trois formules trigonométriques. La première lettre de chaque partie fait référence à la formule trigonométrique sinus, cosinus ou tangente. Les deux lettres suivantes font référence aux deux côtés impliqués dans ce quotient, avec le côté au numérateur en premier, suivi du côté au dénominateur. Ainsi, sinus de 𝜃 est égal au côté opposé divisé par l’hypoténuse. Cosinus de 𝜃 est égal au côté adjacent divisé par l’hypoténuse. La tangente, ou tan, de 𝜃 est égale au côté opposé divisé par le côté adjacent.

Vous devriez déjà savoir utiliser ces trois formules trigonométriques pour calculer la longueur d’un côté dans un triangle rectangle à partir de la longueur d’un des deux autres côtés et de la mesure d’un des angles non droits. Dans cette vidéo, nous allons nous concentrer sur le calcul de la mesure d’un angle à partir des longueurs de deux côtés du triangle. Nous allons pour cela devoir utiliser les réciproques des fonctions trigonométriques. Ce sont les fonctions qui effectuent les opérations réciproques des fonctions sinus, cosinus et tangente. On les note en utilisant l’exposant moins un et on les lit sinus moins un, cosinus moins un et tangente moins un. Elles sont également appelés fonctions arc sinus, arc cosinus et arc tangente.

Il est important de réaliser que cet exposant moins un ne signifie pas l’inverse de ces fonctions. Sinus moins un de 𝑥 n’est pas égal à un sur sinus 𝑥. Ces réciproques des fonctions trigonométriques sont une autre façon de décrire la relation entre un angle et les valeurs de ses trois formules trigonométriques. Leur interprétation est la suivante. S’il existe une valeur 𝑥 telle que 𝑥 est égal à sinus de 𝜃, alors on peut écrire de manière équivalente que 𝜃 est égal à sinus moins un de 𝑥. De la même manière, s’il existe une valeur 𝑦 telle que 𝑦 égale cosinus 𝜃, alors 𝜃 égale cosinus moins un de 𝑦. S’il existe une valeur 𝑧 telle que 𝑧 égale tangente 𝜃, alors 𝜃 est égal à tangente moins un de 𝑧.

Si on connaît la valeur d’une des trois formules trigonométriques, c’est-à-dire la valeur de 𝑥, 𝑦 ou 𝑧, on peut trouver l’angle associé à cette formule en appliquant la réciproque de la fonction trigonométrique appropriée. Pour trouver ces fonctions sur une calculatrice, il faut généralement appuyer sur le bouton Shift ou Seconde, puis sur le bouton sin, cos ou tan pour obtenir la réciproque de chaque fonction. Nous allons commencer par étudier un exemple d’utilisation de ces fonctions pour trouver la mesure d’un angle à partir de deux longueurs de côté d’un triangle rectangle.

Pour la figure ci-dessous, calculez la mesure de l’angle 𝐵𝐴𝐶 en degrés au centième près.

Commençons par identifier l’angle 𝐵𝐴𝐶 sur la figure. Il s’agit de l’angle formé lorsque l’on se déplace de 𝐵 à 𝐴 à 𝐶, il s’agit donc de cet angle ici. Nous pouvons le désigner par la lettre grecque 𝜃 si nous le souhaitons. Ce triangle est un triangle rectangle pour lequel nous connaissons les longueurs de deux côtés et nous souhaitons calculer la mesure d’un de ses angles. Nous pouvons donc approcher ce problème à l’aide de la trigonométrie.

Commençons par identifier les trois côtés du triangle par rapport à cet angle 𝜃. Le côté le plus long du triangle, qui est le côté directement opposé à l’angle droit, est l’hypoténuse. Le côté en face de cet angle 𝜃, c’est-à-dire le côté 𝐵𝐶, est le côté opposé. Le côté entre l’angle 𝜃 et l’angle droit, le côté 𝐴𝐵, est le côté adjacent. Pour nous aider à décider de quelle formule trigonométrique nous avons besoin dans cette question, nous pouvons rappeler l’acronyme SOH CAH TOA. Les deux longueurs de côté que nous connaissons dans ce triangle sont le côté opposé et le côté adjacent. Nous en déduisons donc que nous devons utiliser la tangente.

Pour un angle 𝜃 dans un triangle rectangle, la tangente de l’angle 𝜃 est égale à la longueur du côté opposé divisée par la longueur du côté adjacent. Donc, pour ce triangle, tangente de 𝜃 est égale à sept sur cinq. Pour trouver la valeur de 𝜃, nous devons appliquer la réciproque de la fonction tangente. On a alors 𝜃 égale tangente moins un de sept sur cinq. On peut évaluer cela sur une calculatrice. Il faut généralement appuyer sur Shift ou Seconde puis sur la fonction tan pour faire apparaître la réciproque de la fonction tangente.

Nous devons donner notre réponse en degrés, donc nous devons également nous assurer que la calculatrice est paramétrée en degrés. Évaluer alors tangente moins un de sept sur cinq nous donne 54,4623 etc. La question précise que nous devons donner notre réponse au centième près. Puisque le chiffre de la troisième décimale est deux, nous arrondissons par défaut à 54,46. En appliquant la réciproque de la fonction tangente, nous avons ainsi trouvé que la mesure de l’angle 𝐵𝐴𝐶 est de 54,46 degrés au centième près.

Dans le prochain exemple, nous allons calculer les mesures de deux angles inconnus dans un triangle rectangle en utilisant deux réciproques de fonctions trigonométriques différentes.

Pour la figure ci-dessous, calculez les mesures de l’angle 𝐴𝐵𝐶 et de l’angle 𝐴𝐶𝐵 en degrés au centième près.

En observant la figure, nous constatons que nous avons un triangle rectangle pour lequel nous connaissons les longueurs de deux côtés. Nous pouvons donc approcher ce problème à l’aide de la trigonométrie. Dans un problème comme celui-ci, la première étape consiste à identifier les côtés du triangle. Nous devons, pour cela, savoir par rapport à quel angle nous les identifions. Calculons d’abord la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐶, que nous pouvons désigner par 𝜃. Le côté en face de cet angle est le côté opposé. Le côté entre cet angle et l’angle droit est le côté adjacent. Le dernier côté, qui est toujours directement opposé à l’angle droit, est l’hypoténuse.

Pour décider quelle formule trigonométrique nous devons utiliser, nous pouvons rappeler l’acronyme SOH CAH TOA. Par rapport à l’angle 𝐴𝐵𝐶, ou à l’angle 𝜃, les deux côtés dont nous connaissons la longueur sont le côté adjacent et l’hypoténuse. Nous devons donc utiliser le cosinus. Pour un angle 𝜃 dans un triangle rectangle, le cosinus de l’angle 𝜃 est égal à la longueur du côté adjacent divisée par la longueur de l’hypoténuse. En substituant les longueurs connues, on a donc cosinus 𝜃 égale quatre sur neuf. Pour trouver la mesure de 𝜃, nous devons appliquer la réciproque de la fonction cosinus. Il s’agit de la fonction qui donne la valeur de 𝜃 sachant que cosinus 𝜃 est égal à quatre sur neuf.

Nous pouvons l’évaluer sur une calculatrice, en appuyant généralement sur Shift ou Seconde, puis sur le bouton cos pour faire apparaître la réciproque de la fonction cosinus. Cela nous donne 63,6122 etc. La question précise que nous devons donner notre réponse au centième près, donc nous arrondissons à 63,61 degrés. Nous devons ensuite calculer la mesure de l’angle 𝐴𝐶𝐵, que nous pouvons désigner par 𝛼 sur la figure. Nous pourrions tout à fait calculer la mesure de cet angle en utilisant le fait que la somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180 degrés. Mais nous allons plutôt la calculer en utilisant la trigonométrie, puis nous vérifierons notre réponse en additionnant les mesures des trois angles.

Attention, puisque nous calculons maintenant la mesure d’un autre angle, nous devons renommer les côtés du triangle par rapport à cet angle. L’hypoténuse d’un triangle rectangle est toujours le même côté. C’est le côté directement opposé à l’angle droit. Mais les côtés adjacents et opposés dépendent de l’angle dont on calcule la mesure. Le côté opposé est le côté en face de cet angle. Ainsi, par rapport à l’angle 𝛼, c’est le côté 𝐴𝐵 qui est le côté opposé. Le côté 𝐴𝐶 est le côté adjacent.

Nous voyons maintenant que par rapport à l’angle 𝛼, nous connaissons les longueurs du côté opposé et de l’hypoténuse. Nous allons donc devoir utiliser cette fois le sinus. Pour un angle 𝛼 dans un triangle rectangle, le sinus de 𝛼 est égal à la longueur du côté opposé divisée par la longueur de l’hypoténuse. On a donc sinus 𝛼 égale quatre sur neuf. Pour trouver la valeur de 𝛼, nous devons appliquer la réciproque de la fonction sinus, ce qui donne 𝛼 égale sinus moins un de quatre sur neuf. Évaluer cela sur une calculatrice, qui doit être paramétrée en degrés, donne 26,3877, ce qui fait 26,39 au centième près.

Nous pouvons vérifier nos réponses en additionnant les mesures des trois angles du triangle et en confirmant que leur somme est bien égale à 180 degrés. En appliquant deux formules trigonométriques différentes puis les réciproques de ces fonctions trigonométriques, nous avons trouvé que la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐶 est de 63,61 degrés et que la mesure de l’angle 𝐴𝐶𝐵 de 26,39 degrés, chacune arrondie au centième près.

Dans les exemples que nous avons vus jusqu’à présent, nous avons calculé la mesure d’un ou de deux angles inconnus dans un triangle rectangle en utilisant les réciproques des fonctions trigonométriques. Nous devons parfois aller plus loin que cela et trouver tous les angles et toutes les longueurs de côtés inconnus dans un triangle rectangle. On peut utiliser plusieurs théorèmes pour cela. Nous allons nous entrainer à cet exercice avec le prochain exemple.

𝐴𝐵𝐶 est un triangle rectangle en 𝐵, où 𝐵𝐶 est égal à 10 centimètres et 𝐴𝐶 est égal à 18 centimètres. Calculez la longueur 𝐴𝐵, en donnant votre réponse au centimètre près, et les mesures des angles en 𝐴 et en 𝐶, en donnant vos réponses au degré près.

Commençons par représenter ce triangle, qui est un triangle rectangle en 𝐵. La longueur de 𝐵𝐶 est de 10 centimètres et la longueur de 𝐴𝐶 est de 18 centimètres. Nous devons trouver les mesures des deux angles inconnus et la longueur du troisième côté 𝐴𝐵. Calculons d’abord la mesure de l’angle en 𝐴, que nous pouvons appeler 𝜃 sur notre schéma. Puisque nous connaissons deux longueurs des côtés de ce triangle rectangle, nous pouvons calculer la mesure de cet angle à l’aide de la trigonométrie. Commençons par identifier les trois côtés du triangle par rapport à cet angle. 𝐵𝐶 est le côté opposé, 𝐴𝐵 est le côté adjacent et 𝐴𝐶 est l’hypoténuse.

En rappelant l’acronyme SOH CAH TOA, nous constatons que nous devons utiliser le sinus car nous connaissons les longueurs du côté opposé et de l’hypoténuse. Pour un angle 𝜃 dans un triangle rectangle, le sinus de 𝜃 est égal à la longueur du côté opposé divisée par la longueur de l’hypoténuse. Pour ce triangle, on a donc sinus 𝜃 égale 10 sur 18. Pour trouver la valeur de 𝜃, nous devons ensuite appliquer la réciproque de la fonction sinus. On a donc 𝜃 égale sinus moins un de 10 sur 18. Évaluer cela sur une calculatrice, qui doit être paramétrée en degrés, nous donne 33,7489. En arrondissant au degré près, on obtient 34 degrés.

Nous avons donc trouvé la mesure de l’angle en 𝐴. Essayons à présent de trouver la mesure de l’angle en 𝐶. Si nous le souhaitions, nous pourrions renommer les côtés du triangle par rapport à cet angle. 𝐴𝐵 deviendrait le côté opposé et 𝐵𝐶 le côté adjacent. Nous pourrions alors calculer la mesure de l’angle en 𝐶 en utilisant le cosinus. Il est cependant plus efficace de rappeler que la somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180 degrés. Pour calculer la mesure du troisième angle de ce triangle, on peut soustraire les mesures des deux autres angles à 180 degrés. On trouve alors que la mesure de l’angle 𝛼, ou de l’angle en 𝐶, est égale à 56 degrés au degré le plus proche.

Enfin, nous devons calculer la longueur du côté 𝐴𝐵, ce que nous pouvons faire en utilisant une autre formule trigonométrique. Par rapport à l’angle 𝜃, ou à l’angle en 𝐴, dont nous connaissons la mesure, le côté 𝐴𝐵 est le côté adjacent. En utilisant le cosinus, on a cosinus de 33,7489 etc égale 𝐴𝐵 sur 18. Multiplier les deux membres de cette équation par 18 donne 𝐴𝐵 égale 18 cosinus de 33,7489. Nous utilisons ici la valeur non arrondie pour plus de précision. En évaluant cela sur une calculatrice, on trouve 14,9666, ce qui donne 15 à l’entier le plus proche. Nous avons ainsi montré que la longueur de 𝐴𝐵 est de 15 centimètres au centimètre près. Nous avons aussi montré que les mesures des angles en 𝐴 et 𝐶 sont respectivement de 34 degrés et 56 degrés au degré près.

Nous pouvons vérifier notre réponse pour la longueur de 𝐴𝐵 en utilisant le théorème de Pythagore. Dans un triangle rectangle, la somme des carrés des deux côtés les plus courts est toujours égale au carré de l’hypoténuse. Si on prend la valeur exacte de 𝐴𝐵, qu’on la met au carré, puis qu’on ajoute 10 au carré pour 𝐵𝐶 au carré, on obtient 324. Le carré de l’hypoténuse, c’est-à-dire 18 au carré, est aussi égal à 324. Comme ces deux valeurs sont identiques, cela confirme que notre réponse pour 𝐴𝐵 est correcte. Nous aurions également pu calculer la longueur de 𝐴𝐵 en utilisant le théorème de Pythagore, puis vérifier notre réponse en utilisant la trigonométrie.

Résumons maintenant les points clés de cette vidéo. Lorsque l’on étudie des triangles rectangles, on utilise les termes côté opposé, côté adjacent et hypoténuse pour désigner les côtés du triangle. L’hypoténuse est toujours opposée à l’angle droit et constitue le côté le plus long. Le côté opposé et le côté adjacent sont identifiés par rapport à un angle donné, souvent noté 𝜃. Le côté opposé est le côté en face de cet angle et le côté adjacent est le côté entre cet angle et l’angle droit.

L’acronyme SOH CAH TOA peut aider à se souvenir des définitions des trois formules trigonométriques. Sinus de 𝜃 est égal au côté opposé divisé par l’hypoténuse, cosinus de 𝜃 est égal au côté adjacent divisé par l’hypoténuse et tangente de 𝜃 est égale au côté opposé divisé par le côté adjacent. On peut calculer la mesure d’un angle dans un triangle rectangle à partir de deux longueurs de côté en utilisant les réciproques des fonctions trigonométriques. S’il existe une valeur 𝑥 telle que 𝑥 égale sinus 𝜃, alors 𝜃 égale sinus moins un de 𝑥. Si 𝑦 est égal à cosinus 𝜃, alors 𝜃 est égal à cosinus moins un de 𝑦. Si 𝑧 est égal à tangente 𝜃, alors 𝜃 est égal à tangente moins un de 𝑧.

Nous avons vu que l’on peut utiliser les trois fonctions trigonométriques et leurs réciproques pour calculer les longueurs de tous les côtés et les mesures de tous les angles inconnus d’un triangle rectangle. On peut également utiliser le théorème de Pythagore ou la somme des angles dans un triangle, soit pour calculer ces inconnues, soit pour vérifier les réponses.