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Vidéo question :: Intégrale impliquant des fonctions trigonométriques inverses Mathématiques • Troisième année secondaire

Déterminez ∫sec ((2𝑥 + 1) / 3) tan ((2𝑥 + 1) / 3) d𝑥.

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Transcription de la vidéo

Déterminez l’intégrale de sécante de deux 𝑥 plus un sur trois multipliée par tangente de deux 𝑥 plus un sur trois par rapport à 𝑥.

Dans cette question, on nous demande d’évaluer l’intégrale d’un produit de deux fonctions trigonométriques, la sécante d’un argument et la tangente d’un argument. Cela peut immédiatement nous rappeler l’un de nos résultats standards d’intégrale. L’intégrale de sécante de 𝜃 multipliée par tangente de 𝜃 par rapport à 𝜃 est égale à sécante de 𝜃 plus la constante d’intégration 𝐶. Nous ne pouvons pas appliquer ce résultat directement à cette intégrale car nous pouvons voir que l’argument de la fonction sécante et de la fonction tangente est plus compliqué. Nous allons donc intégrer cela en utilisant une substitution. Nous allons définir 𝑢 comme étant égal à l’argument deux 𝑥 plus un sur trois.

Pour utiliser l’intégration par substitution, nous rappelons que nous devons trouver une expression pour les éléments différentiels. Nous allons donc devoir dériver notre substitution 𝑢 par rapport à 𝑥. Puisque 𝑢 est une fonction affine, la dérivée de 𝑢 par rapport à 𝑥 sera le coefficient de 𝑥. Dans ce cas, d𝑢 sur d𝑥 est égal à deux tiers. Attention, d𝑢 sur d𝑥 n’est pas une fraction. Cependant, nous pouvons traiter cela un peu comme une fraction pour obtenir une expression pour les éléments différentiels. Nous obtenons que d𝑥 est égal à trois sur deux d𝑢.

Nous pouvons à présent utiliser la substitution pour évaluer notre intégrale. Nous allons remplacer deux 𝑥 plus un sur trois par 𝑢 et d𝑥 par trois sur deux d𝑢. Cela nous donne l’intégrale de sécante de 𝑢 fois tangente de 𝑢 fois trois sur deux par rapport à 𝑢. Maintenant, cela est presque sous la forme de notre résultat d’intégrale. Nous devons juste mettre le facteur trois sur deux hors de l’intégrale. Nous avons trois sur deux fois l’intégrale de sécante 𝑢 fois tangente 𝑢 par rapport à 𝑢.

Nous appliquons ensuite notre règle d’intégrale. Nous obtenons trois sur deux fois sécante de 𝑢 plus la constante d’intégration 𝐶 et il est important de se rappeler que 𝐶 n’est qu’une constante. Ainsi, elle n’est pas affectée par le facteur trois sur deux. Enfin, puisque notre intégrale initiale était en fonction de 𝑥, nous devons réécrire cette expression en fonction de 𝑥. Nous devons utiliser notre substitution de 𝑢, ce qui nous donne trois sur deux fois sécante de deux 𝑥 plus un sur trois plus 𝑐, qui est notre résultant final.

Ainsi, en utilisant une substitution de 𝑢 et l’un de nos résultats standards d’intégrale, nous avons pu montrer que l’intégrale de sécante de deux 𝑥 plus un sur trois fois tangente de deux 𝑥 plus un sur trois par rapport à 𝑥 est égal à trois sur deux fois sécante de deux 𝑥 plus un sur trois plus la constante d’intégration 𝐶.

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