Vidéo question :: Utiliser le principe additif des principes fondamentaux du dénombrement Mathématiques

Transcription de la vidéo

Simon achète des fournitures pour son bureau. Il doit acheter six articles en les choisissant parmi 20 types de stylos, 10 types de crayons et cinq types de papier d'impression. Il doit acheter au moins 3 stylos et un seul paquet de papier. Laquelle des expressions suivantes représente le nombres de commandes de fournitures possibles que Simon pourrait passer ? Est-ce (A) 20 𝐶 trois plus 10 𝐶 deux plus cinq plus 20 𝐶 quatre plus 10 plus cinq plus 20 𝐶 cinq plus cinq. (B) 20 𝐶 trois fois 10 𝐶 deux fois cinq plus 20 𝐶 quatre fois 10 fois cinq plus 20 𝐶 cinq fois cinq. (C) 20 𝐶 trois plus 10 𝐶 deux plus cinq plus 20 𝐶 quatre plus 10 plus cinq plus 20 𝐶 cinq. (D) 20 𝐶 trois fois 10 𝐶 deux plus 20 𝐶 quatre fois 10 plus 20 𝐶 cinq. Ou (E) 20 𝐶 trois fois 10 𝐶 deux fois cinq plus 20 𝐶 quatre fois 10 fois cinq plus 20 𝐶 cinq.

Commençons par examiner les différentes façons dont Simon peut sélectionner six articles. On nous dit qu’il doit acheter au moins trois stylos et un seul paquet de papier. Une façon de sélectionner les six articles est donc trois stylos, deux crayons et un paquet de papier. Ou Simon pourrait acheter quatre stylos, un crayon et un paquet de papier. Sa dernière option serait d’acheter cinq stylos, zéro crayon et un paquet de papier d’impression. Simon pourrait donc sélectionner les six éléments de trois manières différentes en suivant les contraintes données. Dans cette question, l’ordre dans lequel Simon sélectionne les objets n’a pas d’importance. Et nous savons que le nombre de façons de choisir 𝑟 éléments parmi 𝑛 éléments lorsque l’ordre n’a pas d’importance est 𝑛 𝐶 𝑟.

Il y a 20 types de stylos. Cela signifie que le nombre de façons d’en choisir trois est égal à 20 𝐶 trois. Il y a 10 types de crayons, donc le nombre de façons de choisir deux de ces crayons est 10 𝐶 deux. Et comme il y a cinq types de papier d’impression, le nombre de façons de sélectionner un de ces types est égal à cinq 𝐶 un. Nous pouvons répéter cela pour quatre stylos, un crayon et un paquet de papier. Cela donne 20 𝐶 quatre, 10 𝐶 un et cinq 𝐶 un. Et enfin, pour le choix de cinq stylos, zéro crayon et un paquet de papier, on a 20 𝐶 cinq, 10 𝐶 zéro et cinq 𝐶 un.

Comme la sélection des stylos, des crayons et du papier sont des événements indépendants, nous pouvons calculer le nombre total de façons de sélectionner trois stylos, deux crayons et un paquet de papier en multipliant le nombre de façons de sélectionner trois stylos, le nombre de façons de sélectionner deux crayons et le nombre de façons de sélectionner un paquet de papier. Nous pouvons répéter ce raisonnement pour le choix de quatre stylos, un crayon et un paquet de papier ainsi que pour cinq stylos, zéro crayon et un paquet de papier. On rappelle à ce stade que 𝑛 𝐶 zéro est égal à un. Donc cela signifie que 10 𝐶 zéro est égal à un. Et on sait également que 𝑛 𝐶 un est égal à 𝑛. Ce qui signifie que 10 𝐶 un est égal à 10 et que cinq 𝐶 un est égal à cinq.

Le nombre de façons de sélectionner trois stylos, deux crayons et un paquet de papier est donc égal à 20 𝐶 trois fois 10 𝐶 deux fois cinq. Le nombre de façons de sélectionner quatre stylos, un crayon et un paquet de papier est égal à 20 𝐶 quatre fois 10 fois cinq. Et le nombre de façons de sélectionner cinq stylos et un paquet de papier est égal à 20 𝐶 cinq fois un fois cinq, ce qui donne 20 𝐶 cinq fois cinq.

On rappelle ensuite que si 𝐴 et 𝐵 sont des événements incompatibles, où 𝐴 a 𝑚 issues distinctes et 𝐵 a 𝑛 issues distinctes, le nombre total d’issues est 𝑚 plus 𝑛. Ceci est connu comme le principe additif. Et cela signifie que le nombre total de commandes que Simon peut passer est égal à la somme de ces trois produits. C’est-à-dire 20 𝐶 trois fois 10 𝐶 deux fois cinq plus 20 𝐶 quatre fois 10 fois cinq plus 20 𝐶 cinq fois cinq. Il s’agit de la réponse (B), qui correspond au nombre de façons dont Simon peut acheter six articles contenant au moins trois stylos et un seul paquet de papier.