Transcription de la vidéo
Si 𝑓 évalué en six est égal à moins six, que peut-on dire de la limite lorsque 𝑥 tend vers six de 𝑓 de 𝑥 ? Option (A) la limite lorsque 𝑥 tend vers six de 𝑓 de 𝑥 est égale à moins six. Option (B) la limite lorsque 𝑥 tend vers six de 𝑓 de 𝑥 est différente de moins six. Option (C) la limite lorsque 𝑥 tend vers six de 𝑓 de 𝑥 est égale à zéro. Option (D) nous ne pouvons pas tirer aucune conclusion sur la limite lorsque 𝑥 tend vers six de 𝑓 de 𝑥. Option (E) la limite lorsque 𝑥 tend vers six de 𝑓 de 𝑥 est égal à moins un.
Dans cette question, on nous donne une fonction 𝑓 de 𝑥. On ne nous dit qu’une seule information sur cette fonction : 𝑓 évalué en six est égal à moins six. Nous devons déterminer si nous pouvons utiliser cette information pour déterminer quoi que ce soit à propos de la limite lorsque 𝑥 tend vers six de 𝑓 de 𝑥. On nous donne cinq options possibles.
Pour répondre à cette question, commençons par rappeler ce que nous entendons par la limite d’une fonction en un point. Nous rappelons que si les valeurs de notre fonction 𝑓 de 𝑥 se rapprochent d’une valeur finie de 𝐿 lorsque les valeurs de 𝑥 approchent 𝑎 de chaque côté mais pas nécessairement lorsque 𝑥 est égal à 𝑎, alors nous disons que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝐿. Dans notre cas, nous nous intéressons à la limite d’une fonction 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers six. Définissons donc notre valeur de 𝑎 égale à six dans cette définition.
Cela nous donne ce qui suit. Nous pouvons immédiatement remarquer quelque chose dans la définition. Nous ne sommes pas intéressés par l’image de la fonction lorsque notre valeur de 𝑥 est égale à six. Nous ne sommes intéressés que par ce qui arrive aux valeurs de sortie de notre fonction lorsque les valeurs d’entrée de 𝑥 approchent six. Elles se rapprochent de plus en plus de six, mais elles ne sont jamais égales à six. Cela est en fait suffisant pour répondre à cette question. Nous ne pouvons pas tirer de conclusions sur la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers six en sachant la valeur de 𝑓 évaluée en six, car, dans la définition, la valeur de notre fonction au point limite ne nous intéresse pas.
Nous pouvons donc nous arrêter ici et dire simplement que la réponse est l’option (D). Cependant, il peut être utile de montrer explicitement que les options (A), (B), (C) et (E) ne sont pas correctes. Il y a plusieurs façons de le faire.
Nous allons aborder ce problème graphiquement. Commençons par penser à une fonction 𝑓 de 𝑥, où 𝑓 évalué en six est égal à moins six. Prenons un exemple où nous pouvons facilement déterminer la limite lorsque 𝑥 tend vers six de 𝑓 de 𝑥. Sans doute, le choix le plus facile de la fonction sera une fonction constante. 𝑓 de 𝑥 est donc juste la valeur constante de moins six. Nous savons que le tracé de cette fonction sera une droite horizontale d’équation 𝑦 est égal à moins six.
Nous pouvons maintenant déterminer la limite de cette fonction à partir de son graphique. Lorsque nos valeurs de 𝑥 approchent six par la gauche, nous pouvons voir que les sorties de notre fonction ont une valeur constante de moins six. De même, lorsque les valeurs de 𝑥 approchent six par la droite, nous pouvons voir que les sorties ont une valeur constante de moins six. Par conséquent, si 𝑓 de 𝑥 a une valeur constante de moins six, nous avons montré que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers six est égale à moins six.
Cela nous montre trois choses. Premièrement, la limite lorsque 𝑥 tend vers six de 𝑓 de 𝑥 peut être égale à moins six, l’option (B) est donc incorrecte. Deuxièmement, la limite lorsque 𝑥 tend vers six de 𝑓 de 𝑥 peut ne pas être égale à zéro, l’option (C) n’est donc pas correcte. Enfin, la limite lorsque 𝑥 tend vers six de 𝑓 de 𝑥 peut ne pas être égale à moins un, l’option (E) est donc également incorrecte.
Cependant, nous n’avons pas montré que l’option (A) est incorrecte car cela correspond à notre fonction actuelle 𝑓 de 𝑥. Alors, faisons de la place et montrons que cela n’est pas vrai. Nous voulons construire une fonction 𝑓 de 𝑥 où 𝑓 évaluée en six est égale à moins six, mais la limite lorsque 𝑥 tend vers six de 𝑓 de 𝑥 est différent de moins six.
Premièrement, on ne nous donne qu’une seule information sur 𝑓 de 𝑥 ; 𝑓 évalué en six doit être égal à moins six. Cela signifie que lorsque nous dessinons le graphique de notre fonction, on ne nous donne qu’un point par lequel la fonction passe : six, moins six. Le reste du graphique de cette fonction pourrait être tout ce que nous voulons. Par exemple, nous pourrions simplement dire que notre fonction génère six pour toutes les autres valeurs de 𝑥. Nous pouvons même écrire cela comme une fonction par morceaux. 𝑓 de 𝑥 est égal à six si 𝑥est différent de six et 𝑓 de 𝑥 est égal à moins six si 𝑥 est égal à six.
Maintenant, nous pouvons remarquer quelque chose d’intéressant. Lorsque nos valeurs de 𝑥 approchent six par la droite, nous pouvons voir que les valeurs de sortie de la fonction restent à une valeur constante de six. De même, lorsque nos valeurs de 𝑥 approchent six par la gauche, nous pouvons voir que les valeurs de sortie de la fonction restent toujours à une valeur constante de six. Par conséquent, la limite de cette fonction 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers six est égale à six. Cela n’est pas en accord avec l’option (A), qui dit que cette limite devrait être égale à moins six.
Il convient de noter que nous pouvons adapter cela pour montrer que la limite lorsque 𝑥 tend vers six de 𝑓 de 𝑥 peut être égale à n’importe quelle valeur. Tout ce que nous aurions à faire est de changer la valeur de notre droite horizontale. Si c’était une valeur de 𝑐, alors les sorties de notre fonction seraient à une valeur constante de 𝑐. Ainsi, la limite lorsque 𝑥 tend vers six de 𝑓 de 𝑥 serait égale à 𝑐. Cela montre donc qu’il n’y a pas de relation entre 𝑓 évaluée en six et la limite lorsque 𝑥 tend vers six de 𝑓 de 𝑥 dans un cas général, ce qui est une autre façon de montrer que nous ne pouvons tirer aucune conclusion sur la limite lorsque 𝑥 tend vers six de 𝑓 de 𝑥 à partir de la valeur de 𝑓 évaluée en six, ce qui était l’option (D).
