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Sachant que la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de 𝑓 de 𝑥 est égale à six, laquelle des assertions suivantes doit être fausse? Option (A) : 𝑓 évaluée en deux est égale à quatre. Option (B) : 𝑓 évaluée en deux n’est pas définie. Option (C) : la limite lorsque 𝑥 tend vers trois de 𝑓 de 𝑥 est égale à six. Option (D) : 𝑓 évaluée en deux est égale à six. Option (E) : la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de 𝑥 de 𝑥 égale quatre.
Dans cette question, on nous donne la limite lorsque 𝑥 tend vers deux d’une fonction 𝑓 de 𝑥. On nous dit qu’elle vaut six. Nous devons utiliser ces informations pour déterminer laquelle des cinq affirmations est fausse.
Pour répondre à cette question, commençons par rappeler ce que nous entendons par la limite d’une fonction en un point. Si les valeurs de notre fonction 𝑓 de 𝑥 tendent vers une valeur finie 𝐿 lorsque les valeurs de 𝑥 tendent vers une valeur 𝑎 de chaque côté mais pas nécessairement lorsque 𝑥 est égal à 𝑎, alors nous disons que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝐿.
Dans cette question, on nous dit que la limite lorsque 𝑥 tend vers deux d’une fonction 𝑓 de 𝑥 égale six. Nous pouvons donc substituer 𝑎 est égal à deux et 𝐿 est égal à six dans cette définition. Cela nous donne alors les éléments énoncés. Nous savons que cette affirmation doit être vraie, car on nous dit que la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de 𝑓 de 𝑥 est égale à six. Nous devons utiliser ces informations pour déterminer laquelle des cinq affirmations est fausse.
Commençons par l’option (A), qui nous dit que 𝑓 évalué en deux est égal à quatre. Au début, nous pourrions être tentés de dire que cela ne peut pas être vrai, puisque nos valeurs de 𝑓 de 𝑥 tendent vers six lorsque 𝑥 tend vers deux. Cependant, il est très important de se rappeler que dans notre définition, nous disons clairement que nous ne sommes pas intéressés par ce qui se passe lorsque 𝑥 est égal à deux. Lorsque nous parlons de limites, nous ne sommes intéressés que par ce qui se passe lorsque 𝑥 tend vers le point.
Pour nous aider à visualiser cela, utilisons un exemple. Considérons la courbe de 𝑦 égale 𝑥 plus quatre. Dans cette courbe, les coordonnées 𝑦 des points de la courbe représentent les sorties de la fonction. Nous voulons utiliser ceci pour déterminer la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de 𝑥 plus quatre. Avant de faire cela, nous savons que le point avec les coordonnées deux, six se trouve sur cette droite, car si nous substituons 𝑥 est égal à deux dans l’équation, nous obtenons que 𝑦 est égal à six.
Voyons maintenant ce qui arrive aux valeurs de sortie de cette fonction lorsque nos valeurs de 𝑥 tendent vers deux des deux côtés. Premièrement, lorsque nos valeurs de 𝑥 tendent vers deux à droite, nous pouvons voir que nos valeurs de sortie, les coordonnées 𝑦, tendent vers six à droite. De même, nous pouvons voir que si nos valeurs d’entrée de 𝑥 tendent vers deux à gauche, alors nos valeurs de sortie tendent vers six à gauche. Par conséquent, puisque les sorties de notre fonction tendent vers six lorsque 𝑥 tend vers deux de chaque côté, nous avons montré que la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de 𝑥 plus quatre est égale à six.
Ceci est un résultat utile. Si nous appelons la fonction 𝑥 plus quatre 𝑓 de 𝑥, alors nous avons montré que la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de 𝑓 de 𝑥 est égale à six, qui est la valeur de 𝑓 évaluée en deux. Cela donne un exemple qui montre que l’option (D) peut être vraie, puisque nous avons la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de 𝑓 de 𝑥 égale six, ce qui est également 𝑓 évalué en deux. Seulement, nous pouvons manipuler cet exemple pour montrer aussi que l’option (A) peut être vraie.
Nous voulons modifier notre fonction pour que 𝑓 évalué en deux soit égal à quatre. Le moyen le plus simple de le faire est de changer cette valeur de sortie uniquement. Nous allons définir notre fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 plus quatre partout, sauf lorsque 𝑥 égale deux. En deux, la fonction donnera quatre.
Nous pouvons alors remarquer quelque chose d’intéressant. Premièrement, le graphique de cette fonction sera très similaire au graphique de la droite 𝑦 est égal à 𝑥 plus quatre, la seule différence étant le changement de valeur de sorite en deux. Nous pouvons alors utiliser exactement la même méthode que précédemment pour déterminer la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de 𝑓 de 𝑥. Rappelez-vous, lorsque nous prenons notre limite en deux, nous ne nous intéressons pas à ce qui arrive à notre fonction lorsque 𝑥 égale deux, mais seulement à ce qui se passe lorsque 𝑥 tend vers deux.
Ainsi, encore une fois, lorsque nos valeurs d’entrée de 𝑥 tendent vers deux à droite, nos sorties tendent vers six. Lorsque nos valeurs de 𝑥 tendent vers deux à gauche, nos résultats tendent également vers six. Ainsi, la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de cette nouvelle fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à six. Cependant, 𝑓 évalué en deux est égal à quatre. Par conséquent, voici un exemple de fonction 𝑓 de 𝑥 où l’option (A) est vraie. La limite de cette fonction est six lorsque 𝑥 tend vers deux ; cependant, 𝑓 évalué en deux est égal à quatre. Il convient de noter que nous aurions pu choisir une valeur de sortie pour ce point.
Nous pouvons maintenant passer à l’option (B). Cependant, nous pouvons voir que nous pouvons également manipuler cet exemple pour montrer que l’option (B) est vraie. De la même manière, le moyen le plus simple de rendre 𝑓 évaluée en deux indéfinie sera simplement de supprimer la valeur de sortie. Cette fois, nous allons définir notre fonction 𝑓 de 𝑥 égale à la fonction affine 𝑥 plus quatre pour toutes les valeurs de 𝑥 différentes de deux. Nous poserons notre fonction indéfinie lorsque 𝑥 égale deux. Ainsi, le graphique de cette fonction est la droite 𝑦 est égal à 𝑥 plus quatre avec un seul point manquant aux coordonnées deux, six.
Encore une fois, nous n’avons modifié aucune des valeurs de sortie de notre fonction autour de ce point. Nous avons seulement changé la valeur de la fonction lorsque 𝑥 est égal à deux, ce qui ne change pas sa limite. Ainsi, la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de cette fonction est six. Dans cette fonction, 𝑓 de deux n’est pas défini. Par conséquent, il s’agit d’un exemple où l’option (B) est vraie. La limite lorsque 𝑥 tend vers deux de cette fonction est six. Cependant, cette fonction n’est pas définie lorsque 𝑥 égale deux.
Passons maintenant à l’option (C). Nous pourrions construire un autre exemple tout à fait différent pour que l’affirmation soit vraie. Cependant, nous allons juste manipuler cet exemple une fois de plus pour que l’option (C) soit vraie. Puisque nous voulons que la limite lorsque 𝑥 tend vers trois de la fonction 𝑓 de 𝑥 soit égale à six, nous allons construire une fonction qui est la droite 𝑦 égale 𝑥 plus quatre combinée à la droite horizontale 𝑦 égale à six. Dans un esprit de simplicité, écrivons ceci comme une fonction par morceaux. 𝑓 de 𝑥 sera égale à 𝑥 plus quatre lorsque 𝑥 est inférieur ou égale à deux et 𝑓 de 𝑥 sera égale à la valeur constante de six lorsque 𝑥 sera supérieur à deux.
Nous pouvons maintenant déterminer à la fois la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de 𝑓 de 𝑥 et la limite lorsque 𝑥 tend vers trois de 𝑓 de 𝑥. Commençons par la limite lorsque 𝑥 tend vers trois de 𝑓 de 𝑥. Nous devons voir ce qui arrive aux valeurs de sortie de cette fonction lorsque 𝑥 tend vers trois de chaque côté. Bien, lorsque 𝑥 tend vers trois à droite, toutes nos sorties sont égales à six. De même, lorsque 𝑥 tend vers trois à gauche, toutes les valeurs de sortie sont égales à six. Ainsi, la limite lorsque 𝑥 tend vers trois de 𝑓 de 𝑥 est égale à six.
Utilisons maintenant le graphique pour déterminer la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de cette fonction. Premièrement, lorsque nos valeurs de 𝑥 tendent vers deux à droite, nos valeurs de sortie restent constantes à six. Ensuite, lorsque nos valeurs de 𝑥 tendent vers deux à gauche, nous pouvons voir que les valeurs de sortie tendent également six. Par conséquent, la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de 𝑓 de 𝑥 égale six. Par conséquent, il s’agit d’une fonction où la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de 𝑓 de 𝑥 et la limite lorsque 𝑥 tend vers trois de 𝑓 de 𝑥 sont égales à six.
Il convient cependant de noter que ce n’est pas l’exemple le plus simple auquel nous aurions pu penser. Nous aurions pu choisir notre fonction 𝑓 de 𝑥 comme étant la valeur constante de six. Dans ce cas, pour toute valeur réelle 𝑎, la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 sera toujours égale à six, puisque la fonction donne toujours six.
Cela nous laisse l’option (E). Nous devons montrer qu’elle est fausse. Pour montrer cela, considérons ce qui se passe lorsque 𝐿 vaut quatre dans la définition de cette limite. Nous saurions alors que les valeurs de 𝑓 de 𝑥 tendent vers quatre lorsque 𝑥 tend vers deux des deux côtés, mais pas nécessairement lorsque 𝑥 égale deux. Cependant, nous avons également besoin que cette limite soit égale à six. Cela signifie que nous avons besoin que les valeurs de 𝑓 de 𝑥 tendent vers quatre et tendent vers six lorsque nos valeurs de 𝑥 tendent vers deux des deux côtés. Les sorties ne peuvent pas tendre vers quatre et vers six ; ce sont des nombres différents. Cela est vrai pour toute fonction. La limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de toute fonction 𝑓 de 𝑥 ne peut avoir deux valeurs distinctes. Il ne peut exister qu’une seule limite.
Par conséquent, nous avons pu montrer que si la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de 𝑓 de 𝑥 est égale à six, alors parmi les cinq options données, seule l’option (E), la limite lorsque 𝑥 tend vers deux de 𝑓 de 𝑥 est égale à quatre, est obligatoirement fausse.