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Vidéo de question : Déterminer la mesure de l’angle entre une droite et un plan Mathématiques

Déterminez, à la seconde près, la mesure de l'angle compris entre la droite d'équation 𝑥 = 3𝑡 – 1 ; 𝑦 = −2𝑡 + 4 ; 𝑧 = 5 et le plan d'équation 3𝑥 - 4𝑦 + 𝑧 = 2.

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Transcription de vidéo

Déterminez, à la seconde près, la mesure de l'angle compris entre la droite d'équation 𝑥 égale trois 𝑡 moins un, 𝑦 égale moins deux 𝑡 plus quatre, 𝑧 égale cinq et le plan d'équation trois 𝑥 moins quatre 𝑦 plus 𝑧 égale deux.

D’accord, l’énoncé nous fournit l’équation d’une droite. Et elle nous est donnée sous forme paramétrique, avec trois équations distinctes : une pour 𝑥, une pour 𝑦 et une pour 𝑧. Nous avons également l’équation d’un plan. Et elle est presque sous la forme que l’on appelle forme générale.

En soustrayant deux aux deux membres, on obtient ce résultat, qui est cette fois la forme générale de l’équation de ce plan. Notre plan est donc exprimé sous forme générale et notre droite sous forme paramétrique. À partir de ces équations, nous allons maintenant déterminer un vecteur parallèle à la droite et un autre vecteur normal, ou orthogonal, au plan.

Pour un vecteur 𝐝 parallèle à une droite et un vecteur 𝐧 normal à un plan, le sinus de l’angle entre cette droite et ce plan est défini par cette formule. C’est pourquoi nous recherchons un vecteur parallèle à la droite et un vecteur normal au plan.

En revenant aux équations paramétriques de notre droite, il existe un moyen de combiner ces trois équations en une seule. On peut dire que les valeurs 𝑥, 𝑦 et 𝑧 de cette droite représentent un vecteur 𝐫. De plus, le point moins un, quatre, cinq appartient à la droite, et le vecteur trois, moins deux, zéro lui est parallèle. Cela signifie que nous avons déterminé un vecteur 𝐝 qui est parallèle à notre droite. Il a les composantes trois, moins deux, zéro.

Pour trouver ensuite un vecteur 𝐧 normal à notre plan, on rappelle que pour un plan exprimé sous forme générale, les coefficients de 𝑥, 𝑦 et 𝑧 forment les composantes d’un vecteur normal à ce plan. En d’autres termes, un vecteur normal à notre plan a les composantes trois, moins quatre, un.

Maintenant que nous avons nos vecteurs parallèles et normaux, nous pouvons les substituer dans cette formule pour calculer 𝜃. Cela nous donne cette expression, où nous devons calculer un produit scalaire au numérateur et deux normes au dénominateur. En calculant et en simplifiant cette fraction, on obtient 17 sur racine carrée de 13 fois 26. Mais ceci est égal au sinus de 𝜃. Donc, pour calculer 𝜃 lui-même, on applique la réciproque du sinus aux deux membres.

En entrant cette expression dans une calculatrice et en l’arrondissant à la seconde près, on obtient un résultat de 67 degrés, 37 minutes et 12 secondes. Il s’agit de la mesure de l’angle entre la droite et le plan, à la seconde près.

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