Vidéo : Sommes de Riemann et notation sigma

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser la notation sigma avec les sommes de Riemann afin de déterminer l’aire sous une courbe.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment estimer l’aire entre une courbe et l’axe des 𝑥 en découpant l’aire en rectangles. C’est ce qu’on appelle une approximation de la somme de Riemann. Nous découvrirons comment ces calculs peuvent être bien simplifiés en utilisant la notation sigma, et verrons comment des formules de sommation plus compliquées peuvent survenir.

Supposons que nous cherchions à calculer l’aire entre la courbe représentative de 𝑦 égale 𝑥 au cube, l’axe des 𝑥 et les droites verticales 𝑥 égale un et 𝑥 égale trois. Maintenant, il y a des moyens d’évaluer l’aire exacte. Mais c’est un peu en dehors du cadre de cette leçon. Au lieu de cela, nous allons examiner comment nous pouvons approximer l’aire entre la courbe et l’axe des 𝑥. Pour ce faire, nous avons un certain nombre d’options. Nous allons utiliser ce qu’on appelle des sommes de Riemann ou des approximations de la somme de Riemann. Dans ce cas, nous découpons l’aire sous la courbe en rectangles et calculons l’aire de chacun. Et il y a trois façons de le faire. Nous pourrions déterminer la hauteur des rectangles en utilisant la valeur de la fonction à l’extrémité gauche de chaque rectangle, à l’extrémité droite de chaque rectangle ou au milieu de chaque rectangle.

Imaginons que nous voulons diviser notre aire en quatre sous-intervalles, quatre rectangles de même taille. Le nombre de sous-intervalles ou de rectangles est indiqué par la lettre 𝑛. Donc ici, nous allons considérer que 𝑛 égale quatre. Pour trouver la largeur de chaque rectangle, nous calculons la différence entre les limites de l’aire. Et nous partageons cela en 𝑛 morceaux, où 𝑛 est le nombre de sous-intervalles. Ici, cela fait trois moins un divisé par quatre, soit 0.5. Et chaque sous-intervalle, que nous appelons 𝛥𝑥, doit avoir une largeur de 0.5 unité. Formellement, nous disons que la largeur de chaque rectangle 𝛥𝑥 est 𝑏 moins 𝑎 divisé par 𝑛, où 𝑏 et 𝑎 sont les extrémités de notre intervalle.

Nous commencerons par utiliser la bonne extrémité de chaque sous-intervalle pour notre estimation. En d’autres termes, nous trouverons la hauteur du rectangle en considérant la valeur de la fonction à l’extrémité droite de nos sous-intervalles. Nous avons vu que chaque rectangle fait 0.5 unité de largeur. Nous ajoutons donc 0.5 à 1. On voit alors que la hauteur de notre rectangle est égale à la valeur de la fonction lorsque 𝑥 égale 1.5. Appelons ceci 𝑓 de 𝑥 un. Et c’est 𝑓 de 1.5. Maintenant, notre fonction est 𝑥 au cube. Donc 𝑓 de 1.5 est de 1.5 au cube, soit 3.375. C’est la hauteur de notre rectangle. L’aire du rectangle est obtenue en multipliant sa base par sa hauteur. C’est 𝛥𝑥 fois la valeur de notre fonction 𝑓 de 𝑥 un. C’est 0.5 fois 3.375, ce qui équivaut à 1.6875 unité carrée.

Répétons ce processus pour notre sous-intervalle suivant. Nous ajoutons 0.5 à 1.5. Ceci nous indique que la hauteur de notre deuxième rectangle est la valeur de la fonction lorsque 𝑥 égale deux. Cette fois, nous dirons que c’est 𝑓 de 𝑥 deux, qui est deux au cube. Deux au cube, bien sûr, c’est huit. La hauteur de ce rectangle est donc de huit unités. Cette fois, l’aire du rectangle est 𝛥𝑥 fois cette valeur de la fonction. C’est 0.5 fois 8 qui fait bien sûr quatre unités carrées. En répétant ce processus une fois de plus, nous voyons que nous avons besoin d’évaluer la fonction lorsque 𝑥 égale 2.5. Ça fait 2.5 au cube. La hauteur de ce troisième rectangle est donc de 15.625 unités. Son aire est à nouveau 𝛥𝑥 fois cette valeur de fonction. C’est 0.5 fois 15.625, ce qui nous donne 7.8125 unités carrées.

En ajoutant encore 0.5, nous arrivons à notre quatrième valeur de 𝑥 ; c’est trois. C’est le 𝑛 de notre intervalle et le quatrième rectangle comme requis. Cette fois, 𝑓 de 𝑥 quatre ou 𝑓 de trois est trois au cube, soit 27. Son aire sera donnée par sa base multipliée par sa hauteur. C’est 𝛥𝑥 fois 𝑓 de 𝑥 quatre ou 0.5 fois 27, soit 13.5. L’aire totale de ces rectangles, et donc une estimation de l’aire entre la courbe et l’axe des 𝑥 délimitée par les droites d’équations 𝑥 égale un et 𝑥 égale trois, est la somme de ces quatre valeurs. Cela nous donne une aire de 27 unités carrées. Maintenant, nos rectangles sont tous un peu plus grands que l’aire requise. Nous nous attendrions donc à une surestimation. Nous pourrions, bien sûr, rendre nos approximations plus précises en divisant les rectangles en des sous-intervalles plus petits.

Il est également important de se rappeler que si la fonction prend à la fois des valeurs positives et négatives comme on le voit ici, la somme de Riemann est la somme des aires des rectangles qui se trouvent au-dessus de l’axe des 𝑥 et les valeurs négatives des aires des rectangles qui se trouvent au-dessous. Bien qu’en évaluant simplement la fonction en ces points, nous obtiendrons des valeurs négatives et, par conséquent, des valeurs négatives pour l’aire. Alors, c’est bon. Mais y a-t-il un moyen de formaliser cela un peu ? Eh bien, si, il y en a un. Voyons ce qu’on vient de faire.

Chaque fois nous multiplions la valeur de 𝛥𝑥 par la valeur de la fonction à l’extrémité de l’échantillon. Ici, c’était l’extrémité droite, mais nous aurions pu choisir l’extrémité gauche. Et nous verrons comment cela change notre notation dans un instant. Nous pouvons écrire une expression générale pour l’approximation de l’aire totale entre la courbe et l’axe des 𝑥 comme 𝛥𝑥 fois 𝑓 de 𝑥 un plus 𝛥𝑥 fois 𝑓 de 𝑥 deux jusqu’à 𝛥𝑥 fois 𝑓 de 𝑥 𝑛. Nous avons déjà vu ici que 𝛥𝑥 égale 𝑏 moins 𝑎 sur 𝑛. Nous pouvons également dire 𝑥 un est 𝑎 plus 𝛥𝑥, 𝑥 deux est 𝑎 plus deux fois 𝛥𝑥, jusqu’à 𝑥 𝑛, qui est 𝑎 plus 𝑛 fois 𝛥𝑥.

Mais c’est encore un peu compliqué. Nous allons donc introduire un nouveau symbole. Ce symbole est sigma et il signifie « la somme de ». Et ça nous aidera à arranger un peu les choses. Nous allons dire qu’une estimation pour l’aire est la somme de toutes les 𝛥𝑥s fois toutes les 𝑓 de 𝑥 𝑖s. Maintenant, nous avons vu que 𝑖 doit commencer en un et se terminer en 𝑛. Donc nous formalisons cela un peu en disant 𝑥 𝑖 égale 𝑎 plus 𝑖 fois 𝛥𝑥. Il s’agit donc de l’estimation pour l’aire lorsque nous utilisons une somme de Riemann à droite. Mais qu’en est-il quand on utilise une somme de Riemann à gauche ? Eh bien, quand on écrit une somme de Riemann à droite, on prend des valeurs de 𝑖 depuis un j’jusqu’à 𝑛, et quand on écrit une somme de Riemann à gauche, on prend des valeurs de 𝑖 depuis zéro jusqu’à 𝑛 moins un. Cela nous donne essentiellement la valeur de notre fonction à l’extrémité gauche de chaque rectangle. Nous allons maintenant voir une application simple de ces formules avant d’envisager comment elle peut nous aider à estimer l’aire sous une courbe.

Représentez en notation sigma l’aire sous la courbe de la fonction définie par 𝑓 de 𝑥 égale un sur 𝑥 moins deux dans l’intervalle fermé 3 à 5, en utilisant une somme de Riemann à droite avec 𝑛 sous-intervalles.

Rappelez-vous, quand nous écrivons une somme de Riemann à droite, nous prenons les valeurs de 𝑖 de un jusqu‘à 𝑛. La surface est approximativement égale à la somme de 𝛥𝑥 fois 𝑓 de 𝑥 𝑖 pour les valeurs de 𝑖 entre un et 𝑛. 𝛥𝑥 est 𝑏 moins 𝑎 divisé par 𝑛, où 𝑎 et 𝑏 sont respectivement les extrémités inférieure et supérieure de notre intervalle. Et 𝑛, bien sûr, est le nombre de sous-intervalles. Alors 𝑥 𝑖 est 𝑎 plus 𝑖 fois 𝛥𝑥. Nous commençons toujours par calculer 𝛥𝑥. Nous voyons que notre intervalle fermé est de trois à cinq. Donc on considère 𝑎 égale trois et 𝑏 égale cinq. 𝛥𝑥 est ainsi cinq moins trois sur 𝑛, ce qui est bien sûr deux sur 𝑛.

Nous sommes maintenant prêts à déterminer ce que vaut 𝑥 𝑖. C’est 𝑎, dont nous savons que c’est trois, plus 𝛥𝑥, qui est deux sur 𝑛, fois 𝑖. Écrivons cela comme trois plus deux 𝑖 sur 𝑛. Maintenant, évidemment pour notre somme, nous avons besoin de savoir 𝑓 de 𝑥 𝑖. 𝑓 de 𝑥 𝑖 doit être 𝑓 de trois plus deux 𝑖 sur 𝑛. Remplaçons donc trois plus deux 𝑖 par 𝑛 dans notre formule. Cela nous donne un sur trois plus deux 𝑖 sur 𝑛 moins deux, ce qui, lorsque nous distribuons nos parenthèses, est simplement un plus deux 𝑖 sur 𝑛. Ce n’est toujours pas bon. Donc ce que nous allons faire, c’est simplifier le dénominateur.

Nous l’écrirons comme un sur un plus deux 𝑖 sur 𝑛. Ensuite, nous allons multiplier le numérateur et le dénominateur de un sur un par 𝑛. Cela crée un dénominateur commun de 𝑛 et cela signifie que nous pouvons additionner les numérateurs. Et nous nous retrouvons avec 𝑛 plus deux 𝑖 sur 𝑛. Maintenant ici, nous calculons un divisé par 𝑛 plus deux 𝑖 sur 𝑛. Eh bien, une autre façon d’y penser, c’est de penser à son inverse. L’inverse de 𝑛 plus deux 𝑖 sur 𝑛 est 𝑛 sur 𝑛 plus deux 𝑖. Et nous avons maintenant tout ce qu’il nous faut pour écrire notre somme de Riemann à droite. C’est une somme de Riemann à droite, donc nous commençons en 𝑖 égale un et nous terminons en 𝑛. 𝛥𝑥 est deux sur 𝑛. Et nous multiplions cela par 𝑓 de 𝑥 𝑖, que nous venons de déterminer comme 𝑛 sur 𝑛 plus deux 𝑖. Nous voyons alors que ces 𝑛s s’annulent. Et nous avons notre somme de Riemann à droite en utilisant la notation sigma. C’est la somme de deux sur 𝑛 plus deux 𝑖 pour les valeurs de 𝑖 entre un et 𝑛.

Dans notre exemple suivant, nous allons utiliser la notation sigma pour nous aider à évaluer l’aire.

Calculez la somme de Riemann à gauche pour la fonction définie par 𝑓 de 𝑥 égale un sur 𝑥 au carré plus deux sur l’intervalle fermé moins trois à trois, sachant qu’il y a six sous-intervalles égaux. Donnez la réponse au centième près.

Rappelez-vous que lorsque nous écrivons une somme de Riemann à gauche, nous prenons les valeurs de 𝑖 de zéro à 𝑛 moins un. Et cela nous donne la valeur de 𝑓 à l’extrémité gauche de chaque rectangle. La formule est la somme de 𝛥𝑥 fois 𝑓 de 𝑥 𝑖 pour les valeurs de 𝑖 de zéro à 𝑛 moins un, où 𝛥𝑥 est 𝑏 moins 𝑎 sur 𝑛. Rappelez-vous que 𝑎 et 𝑏 sont respectivement les limites inférieure et supérieure de notre intervalle, et 𝑛 est le nombre de sous-intervalles. Alors 𝑥 𝑖 est 𝑎 plus 𝑖 fois 𝛥𝑥. Il est seulement judicieux de commencer par calculer d’abord 𝛥𝑥. Nous pouvons voir que notre intervalle fermé est de moins trois à trois. Donc nous allons considérer 𝑎 égale moins trois et 𝑏 égale trois.

Nous sommes intéressés par six sous-intervalles. Donc, considérons 𝑛 égale six. Alors 𝛥𝑥 est trois moins moins trois sur six, soit un. Nous allons ensuite calculer 𝑥 𝑖. C’est 𝑎, dont nous savons que c’est moins trois, plus 𝛥𝑥, qui est un, fois 𝑖. C’est bien sûr moins trois plus 𝑖. Nous cherchons cependant à trouver ce que vaut 𝑓 de 𝑥 𝑖. 𝑓 de 𝑥 𝑖 doit donc être 𝑓 de moins trois plus 𝑖. Remplaçons donc par 𝑥 égale moins trois plus 𝑖 dans notre fonction. Cela nous donne un sur moins trois plus 𝑖 au carré plus deux. Et lorsque nous distribuons les parenthèses, nous obtenons au dénominateur 𝑖 au carré moins six 𝑖 plus 11.

Et maintenant, nous sommes prêts à effectuer quelques substitutions. Nous trouvons la somme et nous prenons les valeurs de 𝑖 de zéro à 𝑛 moins un. Maintenant, 𝑛 est six. Donc 𝑛 moins un est cinq. 𝛥𝑥 est un et 𝑓 de 𝑥 𝑖 est un sur 𝑖 au carré moins six 𝑖 plus 11. Mais bien sûr, nous n’avons pas besoin d’écrire fois un. Il faut donc évaluer cette somme. Pour ce faire, nous allons remplacer avec les valeurs de 𝑖 de zéro à cinq dans cette fonction et ensuite trouver leur somme.

Donc quand 𝑖 égale zéro, c’est un sur zéro au carré moins zéro plus 11. Quand 𝑖 est un, c’est un sur un au carré moins six plus 11. Quand 𝑖 est deux, c’est un sur deux au carré moins 12 plus 11. Et nous répétons ce processus pour 𝑖 égale trois, 𝑖 égale quatre et 𝑖 égale cinq. La dernière chose à faire est d’évaluer leur somme. Cela nous donne 1.5909 et ainsi de suite, qui, arrondi au centième près, donne 1.59. Nous avons calculé la somme de Riemann à gauche pour notre fonction sur cet intervalle fermé, en utilisant six sous-intervalles.

Dans notre dernier exemple, nous allons voir comment traiter les sommes un peu plus compliquées.

Représentez, en notation sigma, l’aire sous la courbe de la fonction définie par 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré moins un sur l’intervalle fermé de zéro à trois en utilisant une somme de Riemann à droite avec 𝑛 sous-intervalles.

Rappelez-vous qu’en déterminant une somme de Riemann à droite, nous déterminons la somme de 𝛥𝑥 fois 𝑓 de 𝑥 𝑖 pour des valeurs de 𝑖 de un à 𝑛. 𝛥𝑥 est 𝑏 moins 𝑎 sur 𝑛 où 𝑎 et 𝑏 sont respectivement les limites inférieure et supérieure de notre intervalle, et 𝑛 le nombre de sous-intervalles. 𝑥 𝑖 est 𝑎 plus 𝑖 fois 𝛥𝑥. Nous commençons toujours par définir ce qu’est 𝛥𝑥. Dans notre cas, 𝑎 égale zéro, 𝑏 égale trois et 𝑛 est juste 𝑛. Cela signifie que 𝛥𝑥 est trois moins zéro sur 𝑛 ou juste trois sur 𝑛. Ensuite, nous allons découvrir ce qu’est 𝑥 𝑖. C’est 𝑎, que nous savons être zéro, plus 𝛥𝑥, qui est trois fois plus de 𝑛, fois 𝑖. Nous allons écrire ceci comme trois 𝑖 sur 𝑛.

Bien sûr, nous voulons savoir ce qu’est 𝑓 de 𝑥 𝑖. Il s’ensuit donc que pour trouver 𝑓 de 𝑥 𝑖, on détermine 𝑓 de trois 𝑖 sur 𝑛. Remplaçons trois 𝑖 sur 𝑛 dans notre formule. Cela donne trois 𝑖 sur 𝑛 le tout au carré moins un, soit neuf 𝑖 au carré sur 𝑛 le tout au carré moins un. Nous sommes maintenant prêts à utiliser la formule de sommation. Nous évaluons notre somme pour les valeurs de 𝑖 de un à 𝑛. Son 𝛥𝑥, qui est trois sur 𝑛, fois neuf 𝑖 au carré sur 𝑛 au carré moins un. Nous distribuons nos parenthèses et ensuite nous allons chercher à créer un dénominateur commun. Nous pouvons le faire en multipliant le numérateur et le dénominateur de notre deuxième fraction par 𝑛 au carré. Cela nous donne trois 𝑛 au carré sur 𝑛 au cube, et il ne nous reste qu’à combiner les numérateurs. Nous avons 27𝑖 au carré moins trois 𝑛 au carré sur 𝑛 au cube.

Maintenant, nous pouvons simplifier cela un peu. Les numérateurs ont un diviseur commun qui est 27 et trois. Et bien sûr, ils ont un dénominateur commun, 𝑛 au cube. Trois et 𝑛 au cube sont tous deux indépendants de 𝑖. Cela signifie que nous pouvons prendre trois sur 𝑛 en dehors du symbole sigma, et cela signifie que nous avons terminé. Nous avons représenté l’aire sous la courbe de la fonction en notation sigma avec une somme de Riemann à droite. C’est trois sur 𝑛 au cube fois la somme de neuf 𝑖 au carré moins 𝑛 au carré pour les valeurs de 𝑖 de un 𝑛.

Dans cette vidéo, nous avons appris que nous pouvons estimer l’aire entre la courbe et l’axe des 𝑥 en découpant la région en rectangles. Nous avons vu que nous pouvons utiliser le symbole sigma pour représenter cette somme, et cela nous donne les formules de la somme de Riemann à droite et de la somme de Riemann à gauche. Rappelez-vous, quand il s’agit de la somme de Riemann à droite, nous prenons les valeurs de 𝑖 de un jusqu’à 𝑛. Et lorsqu’il s’agit de la somme de Riemann à gauche, nous prenons les valeurs de 𝑖 de zéro jusqu’à 𝑛 moins un.

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