Vidéo question :: Calculer la longueur d’un segment perpendiculaire à une droite issu d’un point Mathématiques

Transcription de la vidéo

Calculez la longueur de la perpendiculaire issue du point 𝐴 moins huit, un, 10 à la droite 𝐫 égale moins un, deux, moins sept plus 𝑡 fois moins neuf, moins neuf, six, arrondie au centième près.

Très bien, nous avons donc ici une droite et un point. Et nous souhaitons calculer la longueur, que nous pouvons appeler 𝑑, du segment perpendiculaire à la droite issu du point 𝐴. Nous allons pour cela utiliser cette formule. La distance perpendiculaire entre une droite et un point dépend de deux vecteurs que l’on peut appeler 𝐏 un 𝐏 deux et 𝐯. Dans cette équation, le vecteur 𝐯 est parallèle à la droite impliquée. Cela signifie que pour calculer 𝑑 dans notre scénario, nous devons trouver un vecteur parallèle à cette droite.

Et le vecteur 𝐏 un 𝐏 deux dépend de deux points : le premier est le point dans l’espace par rapport auquel on calcule la distance et l’autre est un point appartenant à la droite donnée. Pour cet exemple, nous connaissons les coordonnées de ce point dans l’espace. Elles nous sont données. Donc les deux informations qui nous manquent sont un point quelque part sur cette droite et un vecteur qui lui est parallèle.

Notez cependant que l’équation de cette droite nous est donnée sous la forme dite vectorielle. Écrite de cette façon, ce vecteur de l’équation représente un vecteur allant de l’origine de coordonnées zéro, zéro, zéro à ce point de la droite, c’est-à-dire le point de coordonnées moins un, deux, moins sept. Nous savons donc que ce point est sur notre droite, et nous pouvons l’appeler 𝐵. La prochaine chose que nous pouvons dire à propos de cette équation vectorielle est que ce vecteur est parallèle à la droite. Nous pouvons l’appeler 𝐯 et il pourrait ressembler à ceci.

Maintenant que nous connaissons un point dans l’espace, un point sur notre droite et un vecteur parallèle à la droite, nous avons tout ce dont nous avons besoin pour appliquer cette formule ici. Nous devons cependant d’abord définir un vecteur allant du point dans l’espace, le point 𝐴, au point sur la droite, le point 𝐵. Il s’agit du vecteur 𝐀𝐁, et ses composantes sont égales aux coordonnées du point 𝐵 moins celles du point 𝐴. Ses composantes sont donc sept, un et moins 17.

Nous connaissons maintenant les deux vecteurs que nous allons utiliser dans la formule de distance. Nous les avons appelés 𝐀𝐁 et 𝐯, bien qu’ils s’appellent 𝐏 un 𝐏 deux et 𝐯 dans la formule. Cela ne pose évidemment pas de problème tant que l’on se rappelle que 𝐀𝐁 correspond à 𝐏 un 𝐏 deux. Continuons maintenant en calculant le produit vectoriel de 𝐀𝐁 et 𝐯. Il est égal au déterminant de cette matrice. La ligne du haut est composée des trois vecteurs unitaires, et les deuxième et troisième lignes sont les composantes correspondantes des vecteurs 𝐀𝐁 et 𝐯. En calculant ce produit vectoriel composante par composante, on trouve qu’il est égal à 𝐢 fois moins 147 moins 𝐣 fois moins 111 plus 𝐤 fois moins 54. C’est-à-dire qu’il s’agit du vecteur de composantes moins 147, 111, moins 54.

Maintenant que nous avons déterminé 𝐀𝐁 vectoriel 𝐯, nous pouvons calculer sa norme et la diviser par la norme de 𝐯. La norme de 𝐀𝐁 vectoriel 𝐯 est égale à racine carrée de moins 147 au carré plus 111 au carré plus moins 54 au carré. Et on divise cela par la norme de 𝐯, qui est égale à racine carrée de moins neuf au carré plus moins neuf au carré plus six au carré. En tapant toute cette expression sur une calculatrice, puis en arrondissant au centième près, nous obtenons un résultat de 13,64.

Nous pouvons donc conclure que le segment perpendiculaire à la droite issu du point 𝐴 mesure 13,64 unités de longueur.