Vidéo de la leçon: Applications du théorème de Pythagore Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous apprendrons comment appliquer le théorème de Pythagore sur des questions géométriques et des situations réelles. Nous commencerons par rappeler ce que dit le théorème de Pythagore.

Le théorème de Pythagore déclare que dans tout triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux côtés les plus courts. Si l’hypoténuse est étiquetée 𝑐 et les deux côtés les plus courts sont étiquetés 𝑎 et 𝑏, alors le théorème de Pythagore déclare que 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré est égal à 𝑐 au carré. Nous allons maintenant utiliser ce théorème pour résoudre certains problèmes réels dans leur contexte.

Un homme au sommet d’un immeuble veut avoir un hauban prolongé jusqu’à un point au sol à 20 pieds de la base du bâtiment. À l’unité près, quelle doit être la longueur du câble si le bâtiment mesure 50 pieds ?

Commençons par dessiner une figure. On nous dit que le bâtiment mesure 50 pieds de haut. Le fil est prolongé jusqu’à un point au sol à 20 pieds de la base du bâtiment. Nous devons calculer la longueur de ce fil, que nous appellerons 𝑥. Nous pouvons voir sur la figure que ces valeurs créent un triangle rectangle. Pour calculer la longueur manquante dans un triangle rectangle, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore. Cela indique que 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré est égal à 𝑐 au carré, où 𝑐 est la longueur du côté le plus long ou de l’hypoténuse. Le côté le plus long est toujours opposé à l’angle droit.

La substitution dans nos valeurs nous donne 20 au carré plus 50 au carré est égal à 𝑥 carré. Les valeurs 20 et 50 peuvent être écrites dans l’un ou l’autre ordre. 20 au carré est égal à 400, et 50 au carré est égal à 2500. L’ajout de ceux-ci nous donne une valeur de 𝑥 au carré égale à 2900. Notre dernière étape consiste à racine carrée des deux côtés de cette équation. 𝑥 est égal à la racine carrée de 2900. Taper ceci dans la calculatrice nous donne 53.851648 et ainsi de suite.

On nous demande de donner notre réponse au pied le plus proche. Nous devons donc arrondir au nombre entier le plus proche. Comme le nombre dans la colonne des dizaines est supérieur ou égal à cinq, nous arrondissons. La longueur du hauban est de 54 pieds, au pied le plus proche. C’est une réponse sensée car elle est supérieure à 50 mais inférieure à 70. L’hypoténuse doit être supérieure aux deux autres longueurs mais inférieure à la somme des deux plus courtes longueurs.

Nous allons maintenant examiner une deuxième question qui vise à résoudre un problème réel.

La figure montre un pont de 129 mètres de long sur les supports 𝑀𝐶 et 𝑀𝐷 fixés au milieu 𝑀. Si 𝐴𝐶 est égal à 51.6 mètres, trouvez la longueur de 𝑀𝐶 au centième près.

On nous dit dans la question que la longueur du pont 𝐴𝐵 est de 129 mètres. Comme 𝑀 est le milieu de 𝐴𝐵, nous pouvons calculer la distance 𝐴𝑀 en divisant 129 par deux. Cela équivaut à 64.5 mètres. On nous dit également que la longueur 𝐴𝐶 est de 51.6 mètres. 𝐴𝑀𝐶 est un triangle rectangle où nous connaissons deux longueurs et devons calculer la longueur 𝑀𝐶.

Nous pouvons le faire en utilisant le théorème de Pythagore. Cela indique que 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré est égal à 𝑐 au carré. 𝑐 est le côté le plus long du triangle rectangle, connu sous le nom d’hypoténuse. Dans ce cas, c’est la longueur 𝑀𝐶. La substitution dans nos valeurs nous donne 64.5 carré plus 51.6 carré est égal à 𝑥 carré. La saisie du côté gauche dans notre calculatrice nous donne 6822.81. Nous pouvons alors racine carrée des deux côtés de cette équation pour calculer la valeur de 𝑥. 𝑥 est égal à 62.600302 [82.600302] et ainsi de suite.

On nous demande d’arrondir au centième près, ce qui revient à arrondir à la deuxième décimale. Au fur et à mesure de l’arrondi, la longueur de 𝑀𝐶, au centième près, est de 82.60 mètres.

Nous allons maintenant examiner quelques questions où nous utilisons le théorème de Pythagore pour résoudre certains problèmes géométriques.

Trouvez l’aire du carré 𝐵𝐸𝐷𝐶.

Comme 𝐵𝐸𝐷𝐶 est un carré, nous savons que chacune des longueurs est de la même taille. L’aire de n’importe quel carré peut être calculée en mettant au carré la longueur de l’un des côtés. Nous remarquons également que nous avons un triangle rectangle où deux des longueurs sont données. La troisième longueur est la longueur 𝑥. Nous pouvons donc calculer la longueur manquante en utilisant le théorème de Pythagore. Cela indique que 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré est égal à 𝑐 au carré, où 𝑐 est le côté ou l’hypoténuse le plus long.

En substituant dans nos valeurs, nous avons 𝑥 au carré plus 21 au carré est égal à 35 au carré. C’est parce que 35 est l’hypoténuse. 21 au carré est égal à 441. Et 35 au carré est 1225. Nous pouvons soustraire 441 des deux côtés, ce qui nous donne 𝑥 au carré est égal à 784. L’enracinement carré des deux côtés de cette équation nous donne 𝑥 est égal à 28. La longueur de chaque côté sur le carré est de 28 centimètres.

Dans cette question, il y avait en fait un raccourci que nous aurions pu utiliser pour calculer la longueur de 𝐵𝐶. Un de nos triplets pythagoriciens est trois quatre cinq. Cela signifie que tout triangle avec des côtés dans ce rapport sera un triangle rectangle. L’hypoténuse, ou le côté le plus long de notre triangle, était de 35 centimètres. Et l’un des côtés les plus courts mesurait 21 centimètres. Trois multiplié par sept est 21, et cinq multiplié par sept est 35. Comme quatre multiplié par sept est égal à 28, la longueur manquante dans le triangle était de 28 centimètres. Cela confirme notre calcul précédent.

On peut alors calculer l’aire du carré au carré 28. Comme 28 au carré est égal à 784, l’aire du carré 𝐵𝐸𝐷𝐶 est de 784 centimètres carrés. Notre réponse pour la superficie sera toujours en unités de surface.

Nous allons maintenant examiner un deuxième problème géométrique.

Trouvez le périmètre de 𝐴𝐵𝐶𝐷.

Le périmètre de toute figure est la distance autour de l’extérieur. Dans ce cas, nous aurions besoin d’ajouter les longueurs 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷 et 𝐷𝐴. Trois de ces longueurs nous sont données. Et nous appellerons la longueur 𝐷𝐴 𝑥 centimètres. Les valeurs en substituant que nous connaissons nous donne un périmètre de 20 plus 48, plus 39, plus 𝑥. Cela simplifie à 107 plus 𝑥.

Nous remarquons que notre figure quadrilatère ou à quatre côtés est divisée en deux triangles rectangles. Cela signifie que nous pourrions utiliser le théorème de Pythagore pour calculer les longueurs manquantes. Cela indique que 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré est égal à 𝑐 au carré, où 𝑐 est le côté ou l’hypoténuse le plus long. Dans cette question, cependant, il existe une méthode plus rapide utilisant notre connaissance des triplets de Pythagore.

Deux de ces triplets sont cinq 12 13 et trois quatre cinq. Cela signifie que tout triangle avec trois longueurs dans ces rapports sera un triangle rectangle. Commençons par considérer le triangle orange avec des longueurs de 20 centimètres et 48 centimètres et l’hypoténuse 𝑦. Cinq multiplié par quatre est égal à 20, et 12 multiplié par quatre est égal à 48. Cela signifie que nous pouvons calculer la longueur 𝑦 en multipliant 13 par quatre. Ceci est égal à 52. Par conséquent, la longueur de 𝐴𝐶 est de 52 centimètres.

Dans notre triangle rose, les deux côtés les plus courts ont des longueurs de 39 et 52 centimètres. La longueur de l’hypoténuse, ou côté le plus long, est 𝑥. La multiplication de trois et de quatre par 13 nous donne respectivement 39 et 52. Cela signifie que le côté le plus long 𝑥 sera égal à cinq multiplié par 13. Cela équivaut à 65. La longueur de 𝑥 ou 𝐴𝐷 est de 65 centimètres. La substitution de ceci dans notre expression de périmètre nous donne 107 plus 65. 107 plus 65 est égal à 172. Nous pouvons donc conclure que le périmètre de 𝐴𝐵𝐶𝐷 est de 172 centimètres.

Notre dernière question consiste à appliquer la réciproque du théorème de Pythagore.

Les distances entre trois villes sont de 77 milles, 36 milles et 49 milles. Les positions de ces villes forment-elles un triangle rectangle ?

Nous pouvons répondre à cette question en considérant le théorème de Pythagore. Cela indique que 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré est égal à 𝑐 au carré, où 𝑐 est le côté ou l’hypoténuse le plus long d’un triangle rectangle. La réciproque du théorème de Pythagore déclare que si le carré du côté le plus long d’un triangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est à angle droit.

Dans cette question, nous devons considérer la somme des carrés de 36 et 49 et voir s’ils sont égaux au carré de 77. 77 au carré est égal à 5929. 36 au carré plus 49 au carré est égal à 3697. Ces deux valeurs ne sont pas égaux. Cela signifie que 36 au carré plus 49 au carré n’est pas égal à 77 au carré. Nous pouvons donc conclure que, comme les trois distances ne satisfont pas au théorème de Pythagore, le triangle n’est pas un triangle rectangle.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Le théorème de Pythagore déclare que dans tout triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux côtés les plus courts. Ceci est généralement écrit 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré est égal à 𝑐 au carré, où 𝑐 est la longueur de l’hypoténuse. Nous pouvons appliquer ce théorème pour résoudre des problèmes géométriques et réels. Cela comprend le calcul de la longueur de l’hypoténuse ou de l’un des côtés les plus courts.

Notre connaissance des triplets de Pythagore fournit souvent un raccourci. Des exemples de triplets de Pythagore sont trois quatre cinq et cinq 12 13. Tout triangle avec trois longueurs dans ces rapports sera un triangle rectangle. Nous savons également que la réciproque du théorème de Pythagore est vraie. Si les trois longueurs d’un triangle satisfont 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré est égal à 𝑐 au carré, alors le triangle est un triangle rectangle.