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Si 𝐴 est la matrice zéro, deux, deux, zéro, laquelle des expressions suivantes est égale à 𝐴 puissance 99 ? Est-ce l’option (A) deux puissance 98 multiplié par la matrice zéro, deux, deux, zéro ? Est-ce l’option (B) deux puissance 99 multiplié par la matrice zéro, deux, deux, zéro ? Est-ce l’option (C) deux puissance 100 multiplié par la matrice zéro, deux, deux, zéro ? Est-ce l’option (D) deux puissance 98 multiplié par la matrice un, zéro, zéro, un ? Ou est-ce l’option (E) deux puissance 99 multiplié par la matrice un, zéro, zéro, un ?
Dans cette question, on nous donne une matrice carrée 𝐴 d’ordre deux. Et nous devons déterminer laquelle des cinq expressions données représente la matrice 𝐴 puissance 99. Pour ce faire, commençons par rappeler ce que signifie élever une matrice à un certain exposant. Si 𝐴 est une matrice carrée et que l’exposant est un entier positif, cela signifie qu’on multiplie plusieurs fois la matrice par elle-même et le nombre de fois que 𝐴 apparaît dans le produit est donné par l’exposant. Par exemple, si l’exposant est un, alors notre matrice est égale à elle-même. Et lorsque l’exposant est 99, nous devons multiplier la matrice 𝐴 par elle-même où 𝐴 apparaît dans le produit 99 fois.
Bien sûr, calculer ce produit directement serait très difficile. Ceci est un produit avec 99 matrices carrées d’ordre deux. Au lieu de calculer le produit directement, essayons de trouver la tendance que suit ce produit. Nous ferons cela en utilisant la propriété d’associativité de la multiplication matricielle. Calculons juste 𝐴 au carré. Nous savons que 𝐴 au carré est égal à 𝐴 multiplié par 𝐴. Il s’agit de la matrice zéro, deux, deux, zéro multiplié par la matrice zéro, deux, deux, zéro.
Rappelons que pour calculer le produit de deux matrices, nous devons calculer la somme des produits des lignes de la première matrice et des colonnes de la seconde matrice. Ainsi, l’élément de la première ligne et de la première colonne du produit de ces deux matrices sera le produit des éléments de la première ligne de la première matrice et de la première colonne de la seconde matrice. Ce qui donne zéro multiplié par zéro plus deux multiplié par deux, qui est égal à quatre. Ainsi, l’élément de la première ligne et de la première colonne de 𝐴 au carré est quatre. Nous pouvons alors faire la même chose pour l’élément de la première ligne et de la seconde colonne. Nous devons multiplier zéro par deux, puis additionner cela au produit de deux et zéro. Et ces deux termes ont un facteur nul. Donc, la réponse est zéro.
Nous obtenons un résultat très similaire pour l’élément de la première ligne et de la seconde colonne de notre matrice. Ce qui est égal à deux fois zéro plus zéro fois deux, qui est égal à zéro. Enfin, nous pouvons calculer l’élément de la seconde ligne et de la seconde colonne. C’est égal à deux fois deux plus zéro fois zéro, qui est égal à quatre. Par conséquent, la matrice 𝐴 au carré est égale à la matrice quatre, zéro, zéro, quatre. Et c’est un résultat très utile car nous pouvons voir que cela est très similaire à la matrice identité d’ordre deux. Notamment, si nous factorisons par quatre cette matrice, nous pouvons voir que 𝐴 au carré est égal à quatre multiplié par la matrice identité d’ordre deux. Et c’est un résultat très utile car calculer le produit d’une matrice par la matrice identité est très facile.
Nous pouvons utiliser cette information pour simplifier notre expression 𝐴 puissance 99. Pour ce faire, nous allons utiliser l’associativité de la multiplication matricielle. Cela nous permettra de remplacer tout produit de 𝐴 par 𝐴 par 𝐴 au carré. Et nous devons noter qu’il n’y a que 99 facteurs de 𝐴 dans cette expression. Ceci est un nombre impair. Donc, lorsque nous réécrivons ces facteurs de 𝐴 fois 𝐴 comme 𝐴 au carré, nous n’aurons que 49 paires de cette forme et un dernier facteur 𝐴. Et avant de commencer à calculer cette expression, il y a une chose à noter. Nous pouvons écrire le facteur 𝐴 n’importe où dans cette expression. Car nous pouvons choisir les 49 paires de 𝐴 fois 𝐴 comme nous le voulons et cela n’a pas d’importance. Cela ne changera pas le résultat final de notre question.
Nous pouvons à présent calculer cette expression. Nous ferons cela en substituant 𝐴 au carré par quatre multiplié par la matrice identité dans cette expression. Cela nous donne 49 facteurs quatre multiplié par la matrice identité d’ordre deux, multiplié par 𝐴. Et maintenant, nous pouvons simplifier cette expression. Commençons par les facteurs scalaires. Nous avons 49 facteurs égaux à quatre, ce qui est égal à quatre puissance 49. Ensuite, nous avons 49 facteurs de la matrice identité multipliés par 𝐴. Mais nous savons que, multiplier une matrice par la matrice identité ne change pas sa valeur. Donc, tout ceci est égal à 𝐴.
Par conséquent, nous avons démontré que 𝐴 puissance 99 est égal à quatre puissance 49 multiplié par 𝐴. Ce qui n’est pas parmi nos options. Nous devons donc légèrement simplifier ce résultat. Nous devons écrire notre scalaire comme une puissance de deux et nous pouvons faire cela grâce aux règles des puissances. Quatre est égal à deux au carré et deux au carré le tout à la puissance 49 est égal à deux puissance deux fois 49, ce qui est égal à deux puissance 98. Lorsque nous substituons ce résultat et la matrice 𝐴 dans notre expression nous obtenons notre réponse finale. Si 𝐴 est la matrice zéro, deux, deux, zéro, alors 𝐴 puissance 99 est égal à deux puissance 98 multiplié par 𝐴, qui est l’option (A).