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Vidéo : Equation d’un cercle ayant son centre

Anne-Claire Dupuis

L’ensemble des points d’un cercle donné est décrit par l’équation du cercle. Dans cette vidéo, apprenez à établir cette équation lorsque le centre et le rayon du cercle sont connus.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment trouver l’équation d’un cercle connaissant son centre, et nous avons- nous allons aussi utiliser les autres informations données. Alors ce sera peut-être le rayon ou bien un point par lequel passe le cercle.

Avant de commencer à voir ensemble quelques exemples, rappelons-nous que l’équation d’un cercle de centre 𝐶 de coordonnées ℎ, 𝑘, et de rayon 𝑟, peut s’écrire sous sa forme dite canonique ; 𝑥 moins ℎ au carré plus 𝑦 moins 𝑘 au carré égale 𝑟 au carré. Si je développe cette expression, donc mes deux parenthèses, et que je la réarrange, je peux alors obtenir la forme dite générale de l’équation d’un cercle, qui est 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré plus 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐 égale zéro.

Regardons maintenant ensemble quelques exemples.

Trouver l’équation du cercle de rayon 10 et de centre quatre moins sept. Donner l’équation sous sa forme générale.

Donc ici on nous donne le rayon qui est de 10, donc ça c’est 𝑟, et on nous donne les coordonnées du centre, quatre, moins sept. Donc quatre c’est ℎ et moins sept c’est ce qu’on a appelé 𝑘.

Maintenant on va écrire donc l’équation sous sa forme canonique. À savoir donc 𝑥 moins ℎ au carré plus 𝑦 moins 𝑘 au carré égale 𝑟 au carré, et puisqu’on a déjà les valeurs de 𝑟, ℎ et 𝑘, il suffit de les mettre dans l’équation.

Donc ℎ étant quatre, 𝑥 moins ℎ au carré devient 𝑥 moins quatre au carré, ensuite 𝑘 c’est moins sept, donc 𝑦 moins 𝑘 carré devient 𝑦 moins moins sept, soit 𝑦 plus sept au carré. Et enfin, 𝑟 au carré c’est 10 au carré, c’est-à-dire 100.

Nous avons donc trouvé ici l’équation du cercle de rayon 10 et de centre quatre, moins sept, sous sa forme canonique.

Maintenant, on nous demande de la donner sous sa forme générale. Pour cela, je vais devoir donc développer. Donc 𝑥 moins quatre au carré, on sait que ça fait 𝑥 au carré, moins huit 𝑥 plus quatre au carré, c’est-à-dire 16. 𝑦 plus sept au carré va être 𝑦 au carré plus 14 𝑦 plus sept au carré, c’est-à-dire 49, égale 100.

Il faut maintenant juste que j’arrange les termes pour que ça corresponde à la forme générale 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré plus 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐 égale zéro.

Donc je peux déjà réécrire mon 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré, ensuite le moins huit 𝑥 plus 14𝑦, et enfin je vois que je vais avoir 16, 49 et le 100 ; je voudrais qu’il soit de l’autre côté, donc je vais faire moins 100 de chaque côté.

Donc du côté gauche il me reste 16 plus 49, c’est-à-dire 65, moins 100, ça me donne moins 35, et du côté droit j’ai 100 moins 100 qui me fait zéro.

L’équation du cercle de rayon 10 et de centre quatre moins sept, sous sa forme générale est donc 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré moins huit 𝑥 plus 14𝑦 moins 35, égale zéro.

Donner l’équation du cercle montré ci-dessous sous sa forme canonique.

Ici nous allons devoir utiliser le graphe pour trouver les coordonnées du centre du cercle et le rayon du cercle.

Donc nous pouvons lire que l’abscisse du centre est moins cinq, et son ordonnée est moins quatre.

Pour trouver son rayon maintenant, le plus simple est de chercher soit verticalement, par exemple ici, de ici à ici et de compter, donc un, deux, trois, quatre, cinq, ou bien de faire la différence entre les ordonnés du centre et donc du point ici, ou bien horizontalement aussi où on peut lire directement pareil la distance entre moins cinq et moins 10, donc c’est cinq.

Maintenant que nous avons déterminé les coordonnées du centre et le rayon, il nous suffit de mettre ces valeurs dans l’équation du cercle sous sa forme canonique.

D’abord 𝑥 moins ℎ au carré, ℎ étant moins cinq, cela nous donne 𝑥 moins moins cinq au carré, soit 𝑥 plus cinq au carré. 𝑦 moins 𝑘 au carré, 𝑘 étant moins quatre, ça nous fait 𝑦 moins moins quatre au carré, donc 𝑦 plus quatre au carré, et 𝑟 au carré, 𝑟 c’est cinq, donc cinq au carré égale cinq fois cinq, égale 25.

J’ai donc trouvé ici l’équation du cercle sous sa forme canonique, donc 𝑥 plus cinq au carré plus 𝑦 plus quatre au carré égale 25.

Déterminer l’équation du cercle sous sa forme canonique qui passe par le point 𝐴 de coordonnées zéro, huit, et dont le centre est 𝑀 de coordonnées moins deux, moins six.

Donc, ici on nous demande de- d’écrire l’équation du cercle sous sa forme canonique, c’est-à-dire 𝑥 moins ℎ au carré plus 𝑦 moins 𝑘 au carré égale 𝑟 au carré, où ℎ et 𝑘 sont les coordonnées du centre et 𝑟 est le rayon du cercle.

On nous dit dans la question que le centre est le point 𝑀, et que son abscisse est moins deux, donc l’abscisse du centre c’est ℎ, et son ordonnée est moins six, nous avons donc 𝑘 égale moins six.

Donc je peux déjà commencer à écrire mon équation en remplaçant ℎ et 𝑘 par leurs valeurs. 𝑥 moins ℎ au carré va faire 𝑥 moins moins deux au carré, donc soit 𝑥 plus deux au carré, et de même 𝑦 moins 𝑘 au carré, 𝑦 moins moins six, me donne 𝑦 plus six au carré égale 𝑟 au carré.

Maintenant, il me faudrait le rayon 𝑟 pour pouvoir compléter mon équation, mais on ne me le donne pas. Par contre, on me donne un point 𝐴 de coordonnées zéro, huit, par lequel passe le cercle.

Puisque le point 𝐴 est sur le cercle, ses coordonnées doivent vérifier l’équation.

Donc je vais remplacer dans cette équation ici, 𝑥 et 𝑦 par les coordonnées de mon point 𝐴. Et si vous regardez l’équation que nous obtenons ici, en fait finalement nous avons dit que la distance entre 𝐴 et 𝑀 au carré est égale au rayon du cercle au carré ; ce qui est toute l’essence même de l’équation du cercle.

Voilà donc si maintenant je fais le calcul, je vais avoir zéro plus deux ça nous fait deux, au carré qui donne quatre, plus huit plus six au carré c’est-à-dire 14 au carré, c’est-à-dire 196, égale 𝑟 au carré.

Nous trouvons 𝑟 au carré égale 200. Il nous suffit maintenant de remplacer 𝑟 au carré par cette valeur 200 dans l’équation du cercle.

En résumé, nous avons utilisé la forme canonique de l’équation de- d’un cercle, qui est 𝑥 moins ℎ au carré plus 𝑦 moins 𝑘 au carré égale 𝑟 au carré, où ℎ et 𝑘 sont les coordonnées du centre du cercle et 𝑟 son rayon.

Donc si on connaît ℎ et 𝑘 et 𝑟, il nous suffit de les remplacer dans cette équation par leurs valeurs.

Si nous avons le centre, donc ℎ et 𝑘 et seulement un point du cercle, alors nous savons que les coordonnées du point du cercle vont vérifier cette équation.

Ainsi, remplacer 𝑥 et 𝑦 dans notre équation de cercle par les coordonnées du point par lequel passe le cercle, va nous permettre de trouver 𝑟 au carré, si on a déjà bien sûr ℎ et 𝑘.

Enfin, nous pouvons passer de la forme canonique à la forme générale de l’équation du cercle, 𝑥 au carré plus 𝑦 carré plus 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐 égale zéro, tout simplement en développant la forme canonique, donc en développant les deux parenthèses, et ensuite en réarrangeant l’équation pour l’obtenir sous cette forme.