Vidéo de la leçon : Déterminer les coordonnées d’un vecteur Physique

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à trouver les composantes 𝑥 et 𝑦 d’un vecteur en fonction de son intensité et de l’angle entre le vecteur et l’un des axes.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous parlons de la détermination des composantes d’un vecteur. Nous allons apprendre à trouver ces composants graphiquement en utilisant une grille ainsi que la trigonométrie. Maintenant, pour commencer, soulignons que tous les vecteurs sont constitués de composantes. On pourrait dire que les composantes sont les pièces que nous additionnons pour obtenir un vecteur.

Étant donné un vecteur, disons que nous commençons par ce vecteur que nous appelons 𝐕, nous pouvons voir ses composantes en le dessinant sur une grille. Tout d’abord, nous esquissons un graphique de coordonnées 𝑥𝑦, puis nous ajoutons des lignes pour former une grille. Nous pouvons voir que notre vecteur s’étend sur un, deux, trois espaces de la grille le long de cet axe 𝑥. Nous dirons alors que la composante 𝑥 du vecteur, nous pouvons l’appeler 𝑉 indice 𝑥, est égale à trois. La composante 𝑦 de 𝐕 va à une, deux, trois, quatre, cinq, six unités vers le haut de l’axe des 𝑦. On peut donc dire que 𝑉 indice 𝑦 est six. Ce sont les composantes du vecteur 𝐕.

Maintenant, en général, si nous avons un vecteur à deux dimensions, nous pouvons appeler ce vecteur 𝐀, alors nous pouvons écrire le vecteur 𝐀 comme ceci. Ici, 𝐴 indice 𝑥 et 𝐴 indice 𝑦 sont ses composantes 𝑥 et 𝑦. Et notez que nous n’ajoutons pas simplement ces composantes pour obtenir le vecteur 𝐀. Premièrement, chacun doit être multiplié par le bon vecteur unitaire. Dans le cas de 𝐴 indice 𝑥, le vecteur unitaire est 𝐢 chapeau. Et pour 𝐴 indice 𝑦, c’est le vecteur 𝐣 chapeau.

Rappelons qu’un vecteur unitaire est un vecteur d’une intensité ou d’une longueur égale à un. Si nous dessinions notre vecteur unitaire 𝐢 chapeau sur notre grille, cela ressemblerait à ceci, alors que le vecteur unitaire 𝐣 chapeau ressemblerait à ceci. Ces vecteurs sont importants car prises seules, les composantes 𝑥 et 𝑦 d’un vecteur donné sont des grandeurs scalaires. Donc, ils ne peuvent pas nous donner un vecteur à elles seules. C’est-à-dire qu’ils ont une norme ou une longueur, mais ils n’ont ni sens ni direction. C’est là que les vecteurs unitaires entrent en jeu.

Ce premier terme à droite dans notre équation dit que le vecteur 𝐀 a une longueur 𝐴 indice 𝑥, et qu’il suit cette direction particulière, la direction 𝑥. De même, il s’étend d’une longueur 𝐴 indice 𝑦 dans la direction 𝑦. Tout cela pour dire que les composantes d’un vecteur ne sont pas elles-mêmes des vecteurs. En fait, ce sont des grandeurs scalaires. Nous avons vu cela ici avec notre vecteur 𝐕, où nous avons découvert que sa composante 𝑥 est trois, pas un vecteur mais un scalaire, et sa composante 𝑦 est aussi un scalaire.

Donc, pour écrire le vecteur 𝐕 en fonction de ses composantes, on dirait qu’il a une longueur de 𝑉 indice 𝑥, sa composante 𝑥, suivant la direction 𝐢 chapeau. Et puis on ajoute à cela un autre vecteur, sa composante 𝑦, 𝑉 indice 𝑦 fois le vecteur unitaire 𝐣 chapeau. En insérant nos valeurs connues, nous pourrions écrire ceci comme trois 𝐢 plus six 𝐣. Et cela s’appelle la combinaison linéaire de notre vecteur 𝐕. Elle est exprimée en termes de composante horizontale ou 𝑥 et de composante verticale ou 𝑦.

Alors, nous avons mentionné plus tôt qu’il existe plusieurs façons de déterminer les composantes d’un vecteur. Dans le cas du vecteur 𝐕, nous avons utilisé des espaces de la grille pour calculer ces composantes. Mais imaginons qu’au lieu de cela on nous donne un vecteur, nous l’appellerons vecteur 𝐑, sur un plan 𝑥𝑦 vierge. Dans ce cas, aucune grille ne nous est donnée sur laquelle travailler. Mais disons que l’on nous donne la norme de notre vecteur ainsi que l’angle qu’il fait avec l’horizontale. Il est possible de calculer les composantes de 𝐑 en utilisant simplement ces informations.

Rappelons-nous que tout vecteur bidimensionnel a une composante à la fois horizontale et verticale. Si nous devions dessiner cette composante horizontale, elle ressemblerait à ceci et la composante verticale à cela, ce qui, maintenant que nous y réfléchissons, est égale à cette ligne en pointillés. Puisque les composantes verticale et horizontale de tout vecteur sont perpendiculaires, nous savons que cet angle est un angle droit. Et maintenant, nous avons un triangle rectangle où ce côté est l’hypoténuse et ces longueurs sont les deux autres côtés. Et remarquez ceci: les deux côtés les plus courts de ce triangle sont les composantes 𝑥 et 𝑦 de notre vecteur 𝐑.

Chaque fois que nous avons un triangle rectangle et que l’un des autres angles intérieurs est également connu, il existe des relations trigonométriques spécifiques entre les longueurs des trois côtés de ce triangle. Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l’angle droit est toujours l’hypoténuse. Ensuite, parce que cet angle, nous l’avons appelé 𝜃, est l’autre que nous connaissons, nous appelons ce côté du triangle le côté opposé, c’est-à-dire opposé à 𝜃, et ceci le côté adjacent, car il est adjacent ou à côté de 𝜃. En reliant ce triangle à celui créé par notre vecteur 𝐑, notez que les côtés adjacents et opposés de l’angle connu de 37 degrés sont ce que nous cherchons à résoudre. Ce sont les composantes horizontale et verticale de 𝐑, respectivement.

Maintenant, ces différents côtés de notre triangle rectangle sont liés les uns aux autres par des fonctions trigonométriques. Voici ce que nous entendons par là. Si nous prenons le sinus de l’angle 𝜃, alors c’est égal à la longueur du côté opposé à l’angle 𝜃 divisé par la longueur de l’hypoténuse. Si nous multiplions les deux côtés de cette équation par la longueur de l’hypoténuse, nous nous retrouvons avec une équation où le côté opposé est le sujet. En d’autres termes, la longueur de l’hypoténuse fois le sinus de 𝜃 nous donnera la composante verticale de notre vecteur.

En ce qui concerne le vecteur 𝐑, nous voyons que son hypoténuse est de neuf et 𝜃 est de 37 degrés. Donc, si nous multiplions neuf par le sinus de 37 degrés, nous obtiendrons la composante verticale de 𝐑. Avec deux chiffres significatifs, c’est 5,4. Quand il s’agit de trouver la composante horizontale de 𝐑, nous pouvons noter que le cosinus de l’angle 𝜃 est égal à la longueur du côté adjacent sur l’hypoténuse. En réarrangeant, cela nous donne que l’hypoténuse de notre triangle fois le cosinus de 𝜃 est égale à la longueur du côté adjacent. Et dans le cas de notre vecteur 𝐑 c’est la composante horizontale. 𝑅 indice 𝑥 est égal à neuf fois le cosinus de 37 degrés, qui arrondi à deux chiffres significatifs est 7,2. Nous avons alors calculé les composantes verticale et horizontale de 𝐑. Nous pourrions donc l’écrire sous la forme de composants comme ceci. Nous disons alors que le vecteur 𝐑 a une norme de neuf, une direction de 37 degrés au-dessus de l’horizontale, une composante horizontale de 7,2 et une composante verticale de 5,4.

Sachant tout cela sur les composantes des vecteurs, nous allons nous entraîner un peu avec un exemple.

Le vecteur 𝐀 peut être écrit sous la forme 𝑎 𝑥 fois 𝐢 chapeau plus 𝑎 𝑦 fois 𝐣 chapeau. Quelle est la valeur de 𝑎 𝑥? Quelle est la valeur de 𝑎 𝑦?

Donc, dans cette description du vecteur 𝐀, 𝑎 𝑥 et 𝑎 𝑦 sont ses composantes 𝑥 et 𝑦. Ce sont des grandeurs scalaires qui indiquent la longueur du vecteur 𝐀 dans les directions horizontale et verticale. Si nous regardons cette esquisse du vecteur 𝐀 avec la grille autour de lui, nous voyons qu’il y a un axe horizontal, nous appellerons cela l’axe des 𝑥, et un axe vertical que nous appellerons 𝑦.

Donc, en regardant la première partie de notre question, 𝑎 indice 𝑥 sera la quantité dont le vecteur 𝐀 s’étend le long de cet axe des 𝑥. C’est ce qu’on appelle la composante horizontale de 𝐀. Et nous trouvons sa valeur en projetant 𝐀 vers le bas perpendiculairement sur cet axe 𝑥. Sur ce graphique, 𝑎 indice 𝑥 ressemblerait à ceci. C’est une longueur qui couvre un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept carreaux de la grille. Et voilà donc la valeur de 𝑎 indice 𝑥. Sachant cela, nous voulons ensuite déterminer quelle est la composante 𝑦 de notre vecteur 𝐀. Cette fois, nous allons projeter notre vecteur perpendiculairement sur l’axe vertical. 𝑎 indice 𝑦 ressemblerait alors à ceci. On peut compter les carrés pour déterminer la longueur de cette droite. Il mesure une, deux, trois, quatre unités. Donc 𝑎 indice 𝑦 vaut quatre. Nous avons alors déterminé les composantes horizontale et verticale du vecteur 𝐀.

Voyons maintenant un autre exemple.

Écrivez 𝐀 sous forme de composante.

Ici, nous voyons ce vecteur 𝐀 dessiné sur une grille. Et nous pouvons voir que le vecteur commence à l’origine d’un repère. Appelons l’axe horizontal l’axe des 𝑥 et l’axe vertical l’axe des 𝑦. Maintenant, quand nous allons écrire ce vecteur 𝐀 sous forme de composante, cela signifie que nous allons l’écrire en termes de composante 𝑥 et composante 𝑦, également appelée composante horizontale et verticale. Si nous appelons la composante 𝑥 du vecteur 𝐀 𝐴 indice 𝑥 et la composante 𝑦 𝐴 indice 𝑦, alors nous pouvons multiplier chacune de ces composantes par le vecteur unitaire approprié. Le vecteur unitaire suivant la direction 𝑥 ou horizontale est 𝐢 chapeau, et le vecteur unitaire suivant la direction verticale ou 𝑦 est 𝐣 chapeau. À elle seules, les composantes 𝑥 et 𝑦 du vecteur 𝐀 ne sont pas des vecteurs; ce sont des grandeurs scalaires. Mais lorsque nous multiplions ces scalaires par un vecteur comme les vecteurs unitaires, le résultat obtenu est un vecteur.

Enfin, en additionnant ces composantes vectorielles, nous obtiendrons le vecteur 𝐀. Exprimer 𝐀 de cette façon est connu sous le nom d’écriture sous forme de composante. Alors, que sont 𝐴 indice 𝑥 et 𝐴 indice 𝑦? Pour comprendre cela, nous devons regarder notre grille. En commençant par 𝐴 indice 𝑥, c’est égal à la composante horizontale de ce vecteur 𝐀. En d’autres termes, si nous projetons ce vecteur perpendiculairement sur l’axe des 𝑥, alors la longueur de ce segment de droite, cette longueur ici, est 𝐴 indice 𝑥. En termes d’unités de cette grille, cette longueur est d’une, deux, trois unités de long. Et remarquez que nous nous sommes déplacés vers la gauche de l’origine, c’est-à-dire en valeurs de 𝑥 négatives. Donc, même si cette ligne horizontale orange est de trois unités de long, nous disons que la composante 𝑥 de 𝐀 est moins trois. En effet, la projection du vecteur 𝐀 sur l’axe horizontal se situe à moins trois unités suivant 𝑥.

Pour trouver la composante verticale de 𝐀, nous allons suivre un processus similaire. Encore une fois, nous projetons le vecteur 𝐀 perpendiculairement, cette fois sur l’axe vertical. Et c’est la longueur de cette droite qui nous indique la composante verticale ou 𝑦 de 𝐀. Nous voyons que c’est une, deux unités de long et que c’est positif suivant 𝑦. 𝐴 indice 𝑦 est alors égal à plus deux. Et maintenant, nous pouvons écrire 𝐀 sous forme de composantes. Le vecteur 𝐀 est égal à moins trois fois le vecteur unitaire 𝐢 chapeau plus deux fois le vecteur unitaire 𝐣 chapeau.

Voyons maintenant un dernier exemple.

La figure montre un vecteur 𝐀 qui a une norme de 22. L’angle entre le vecteur et l’axe des 𝑥 est de 36 degrés. Calculez la composante horizontale du vecteur. Donnez votre réponse avec deux chiffres significatifs.

Bon, nous voyons ce vecteur 𝐀 dessiné. Et on nous dit qu’il a une longueur ou une norme de 22. De plus, nous savons que le vecteur forme un angle de 36 degrés avec la partie positive de l’axe des 𝑥. Notre objectif est de déterminer sa composante horizontale. C’est égal à la projection horizontale de notre vecteur sur cet axe.

Lors de la résolution de la longueur de cette ligne orange, notons que notre ligne en pointillé coupe notre axe horizontal avec un angle droit. En d’autres termes, nous avons ici un triangle rectangle. Voici l’hypoténuse, voici un autre côté, et voici le troisième. Pour déterminer la composante horizontale de notre vecteur, nous devons en fait calculer la longueur de l’un des côtés de ce triangle rectangle. Nous pouvons le faire en utilisant la trigonométrie.

Rappelons-nous que, étant donné un triangle rectangle, si nous connaissons l’un des autres angles intérieurs, nous pouvons définir les côtés de ce triangle rectangle comme l’hypoténuse ℎ, le côté opposé à notre angle 𝜃 et le côté adjacent à cet angle 𝑎. Mis en place de cette façon, c’est le côté adjacent, ce que nous avons appelé 𝑎 ici, que nous voulons déterminer pour obtenir notre composante horizontale.

Maintenant, si nous prenions le cosinus de cet angle 𝜃, alors cela serait égal au rapport de la longueur de notre côté adjacent sur notre hypoténuse. Ou en multipliant les deux côtés de cette équation par l’hypoténuse, en supprimant ce facteur à droite, nous avons que le côté adjacent de notre triangle rectangle est égal au cos de 𝜃 fois ℎ. Cela se rapporte à notre situation avec le vecteur 𝐀 car dans ce cas, nous connaissons la longueur de notre hypoténuse et nous connaissons également cet angle. On peut donc dire que la longueur de l’hypoténuse de notre triangle, 22, multipliée par le cos de notre angle de 36 degrés est égale à ce que nous appellerons 𝐴 indice 𝑥, la composante horizontale du vecteur 𝐀. Lorsque nous entrons cette expression sur notre calculatrice et conservons deux chiffres significatifs, notre réponse est 18. C’est la composante horizontale du vecteur 𝐀.

Terminons maintenant notre leçon en passant en revue quelques points clés. Dans cette leçon, nous avons vu qu’un vecteur, disons que nous avons un vecteur 𝐀, peut être écrit en fonction des composantes 𝐴 𝑥 et 𝐴 𝑦. Ici, 𝐴 𝑥 représente la composante horizontale de notre vecteur et 𝐴 𝑦 la composante verticale. Nous apprenons également que les composantes d’un vecteur sont des valeurs scalaires qui peuvent être déterminées de deux façons: la première à partir d’une grille ou la seconde à l’aide de la trigonométrie. Et enfin, en considérant la trigonométrie d’un triangle rectangle, nous avons vu que, étant donné un angle intérieur 𝜃, qui est différent de l’angle droit dans le triangle, le sinus de 𝜃 est égal au rapport de la longueur du côté opposé à l’hypoténuse, tandis que le cosinus de 𝜃 est égal au rapport de la longueur du côté adjacent à l’hypoténuse. Souvent, les longueurs des côtés opposés et adjacents représentent respectivement les composantes verticale et horizontale d’un vecteur.

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