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Soit 𝑋 une variable aléatoire discrète qui peut prendre les valeurs deux, trois, cinq et sept. Sachant que la probabilité de 𝑋 égale deux est de un sur 12, la probabilité de 𝑋 égale trois est de un sur quatre, la probabilité de 𝑋 égale cinq est de un sur trois et la probabilité de 𝑋 égale sept est de un sur trois, déterminez le coefficient de variation au pourcentage près.
Dans ce problème, nous devons calculer le coefficient de variation d’une variable aléatoire discrète 𝑋. Il représente l’écart-type comme un pourcentage de l’espérance de 𝑋. Si la variable aléatoire discrète a une espérance 𝐸 de 𝑋 non nulle et un écart-type 𝜎 𝑋, alors le coefficient de variation est défini par 𝜎 𝑋 sur 𝐸 de 𝑋 fois 100. Nous connaissons ici la loi de probabilité de la variable aléatoire discrète 𝑋. Mais représentons-la dans un tableau. Dans la ligne du haut, on place les valeurs possibles de la variable aléatoire discrète, qui sont deux, trois, cinq et sept. Et dans la deuxième ligne, on note les probabilités de chacune de ces valeurs, qui sont un sur 12, un sur quatre, un sur trois et un sur trois. Notez que la somme de ces quatre probabilités est égale à un, comme ce doit être le cas pour la somme de toutes les probabilités d’une loi de probabilité.
Nous devons maintenant calculer l’écart-type et l’espérance de 𝑋. Commençons par l’espérance. Sa formule est la somme des 𝑥 fois 𝑓 de 𝑥. On multiplie chaque valeur de la variable aléatoire discrète par sa probabilité correspondante, puis on additionne toutes ces valeurs. Nous pouvons ajouter une ligne supplémentaire à notre tableau pour ces produits. La première valeur est deux fois un sur 12. Cela fait deux sur 12, et nous n’allons pas simplifier cette valeur pour le moment. La valeur suivante est trois fois un sur quatre, soit trois sur quatre, puis cinq fois un sur trois, ce qui fait cinq sur trois, et enfin sept fois un sur trois, soit sept sur trois.
Pour trouver l’espérance de 𝑋, nous devons calculer la somme de ces quatre valeurs, ce que nous pouvons faire en utilisant un dénominateur commun de 12. On a deux sur 12 plus neuf sur 12 plus 20 sur 12 plus 28 sur 12. Cela fait 59 sur 12. Et cette fraction ne peut pas être simplifiée davantage. Nous devons ensuite calculer l’écart-type de 𝑋. L’écart-type est égal à la racine carrée de la variance. Et on trouve la variance de 𝑋 en calculant l’espérance de 𝑋 au carré moins l’espérance de 𝑋, le tout au carré.
Nous devons être clairs sur la différence de notation ici. Dans le premier terme, on élève d’abord les valeurs de 𝑥 au carré, puis on calcule leur espérance, ou moyenne. Pour le deuxième terme, on calcule l’espérance, ou la moyenne, de 𝑋, comme nous venons de le faire. Elle est de 59 sur 12. Puis on élève cette valeur au carré. Pour calculer l’espérance de 𝑋 au carré, on multiplie chaque valeur de 𝑥 au carré par sa probabilité correspondante, qui est directement héritée de la loi de probabilité de 𝑋. Nous pouvons ajouter une ligne supplémentaire à notre tableau pour les valeurs de 𝑥 au carré qui sont quatre, neuf, 25 et 49, puis une ligne dans laquelle nous multiplions chaque valeur de 𝑥 au carré par sa valeur 𝑓 de 𝑥 associée.
On a donc quatre fois un sur 12, ce qui fait quatre sur 12, neuf fois un sur quatre, soit neuf sur quatre, 25 fois un sur trois, qui est 25 sur trois, et enfin 49 fois un sur trois qui fait 49 sur trois. L’espérance de 𝑋 au carré est donc égale à quatre sur 12 plus neuf sur quatre plus 25 sur trois plus 49 sur trois. Et nous pouvons utiliser une calculatrice pour l’évaluer. Elle est égale à 327 sur 12, ce qui se simplifie par 109 sur quatre.
Comme nous connaissons maintenant l’espérance de 𝑋 et l’espérance de 𝑋 au carré, nous pouvons calculer la variance de 𝑋. Elle est égale à 109 sur quatre moins 59 sur 12 au carré, ce qui, à l’aide d’une calculatrice, nous donne 443 sur 144. On calcule ensuite l’écart-type de 𝑋 en prenant la racine carrée de la variance. Le dénominateur est un carré parfait. Donc l’écart-type de 𝑋 est égal à racine carrée de 443 sur 12. Et nous allons le conserver sous forme exacte pour le moment.
Nous avons ainsi trouvé l’écart-type et l’espérance de 𝑋. Notre dernière étape consiste enfin à substituer ces deux valeurs dans la formule du coefficient de variation. On divise l’écart-type de 𝑋, qui est égal à racine carrée de 443 sur 12, par l’espérance de 𝑋, qui est de 59 sur 12, puis on multiplie par 100. Bien sûr, diviser par 59 sur 12 revient à multiplier par son inverse 12 sur 59. On peut alors annuler le facteur 12. Et on obtient racine carrée de 443 sur 59 fois 100, ce qui est égal à 35,67.
La question précise que nous devons donner notre réponse au pourcentage près. Et comme le premier chiffre après la virgule est un six, nous allons arrondir par excès. Nous avons ainsi montré que le coefficient de variation de 𝑋 est de 36 pourcent au pourcentage le plus proche. Cela nous indique que l’écart-type de 𝑋 est égal à environ 36 pour cent de sa valeur moyenne.