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Vidéo de question : Déterminer la quantité de mouvement d’un objet à un instant donné compte tenu de son déplacement par rapport au temps Mathématiques

Une voiture de masse 1 350 kg se déplace en ligne droite de sorte qu’à l’instant 𝑡, en secondes, son déplacement par rapport à un point fixe sur la droite est donné par 𝑠 = (6𝑡² - 3𝑡 + 4) m. Calculez la norme de la quantité de mouvement de la voiture en 𝑡 = 3𝑠.

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Transcription de vidéo

Une voiture d’une masse de 1 350 kilogrammes se déplace en ligne droite de sorte qu’ à l’instant 𝑡, en secondes, son déplacement par rapport à un point fixe sur la droite est donné par 𝑠 égale six 𝑡 au carré moins trois 𝑡 plus quatre mètres. Calculez la norme de la quantité de mouvement de la voiture en 𝑡 est égal à trois secondes.

Nous cherchons la norme de la quantité du mouvement de la voiture. La quantité de mouvement est, bien sûr, une grandeur vectorielle. Mais nous ne sommes intéressés que par la norme de cette grandeur. Maintenant, vous savez peut-être que la quantité de mouvement d’un objet est le produit de sa masse et de son vecteur vitesse. Et c’est une bonne nouvelle car nous connaissons la masse de la voiture. C’est 1 350 kilogrammes.

Mais on ne nous dit pas explicitement la vitesse de la voiture dans la question. On nous dit que son déplacement 𝑠 est égal à six 𝑡 au carré moins trois 𝑡 plus quatre mètres, où 𝑡 est le temps en secondes. Et nous pouvons utiliser ce déplacement pour trouver le vecteur vitesse car le vecteur vitesse à un instant donné n’est que le taux de variation instantané d par d𝑡 du déplacement à cet instant.

Donc on peut nommer le vecteur vitesse 𝑣 et le déplacement 𝑠 donné dans la question. Et nous pouvons utiliser l’expression que nous avons pour 𝑠 en fonction de 𝑡. On nous dit que le déplacement 𝑠 est de six 𝑡 au carré moins trois 𝑡 plus quatre. Et nous pouvons calculer la dérivée terme par terme.

La dérivée de 𝑡 au carré par rapport à 𝑡 est deux 𝑡. Et donc la dérivée de six 𝑡 au carré est six fois deux 𝑡, ce qui est 12𝑡. La dérivée de 𝑡 par rapport à 𝑡 est un. Et donc la dérivée de trois 𝑡 par rapport à 𝑡 est trois. Et la dérivée d’une constante est zéro. Et ainsi, le terme constant quatre ne contribue en rien au vecteur vitesse.

Nous avons donc trouvé que le vecteur vitesse à l’instant 𝑡 est de 12𝑡 moins trois. Et comme le déplacement a été mesuré en mètres et le temps en secondes, ce vecteur vitesse a des unités de mètres par seconde.

Alors, une fois que nous avons le vecteur vitesse à l’instant 𝑡, nous pouvons le remplacer dans notre équation pour la quantité de mouvement. La quantité de mouvement est 1 350 fois 12𝑡 moins trois. Et comme la masse est mesurée en kilogrammes et la vitesse est mesurée en mètres par seconde, cette quantité de mouvement est mesurée en kilogrammes mètres par seconde. C’est la quantité de mouvement à tout moment 𝑡. Mais nous ne sommes intéressés que lorsque 𝑡 vaut trois secondes.

Nous substituons donc 𝑡 égale trois. 𝑡 est trois et donc 12𝑡 est 36. Et probablement, la chose la plus judicieuse à faire est de mettre cela dans notre calculatrice pour obtenir une quantité de mouvement de 44 550 kilogrammes mètres par seconde. Voilà la quantité de mouvement de notre voiture après trois secondes. Et comme cette voiture se déplace en ligne droite et que la quantité de mouvement est positive, cela est aussi la norme de la quantité de mouvement de la voiture.

C’est donc la réponse à notre question, 44 550 kilogrammes mètres par seconde.

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