Vidéo question :: Déterminer une inconnue dans une fonction définie par morceaux, impliquant des rapports trigonométriques qui lui font avoir une limite en un point Mathématiques

Transcription de la vidéo

Déterminez toutes les valeurs de 𝑚 pour lesquelles la limite existe lorsque 𝑥 tend vers zero, lorsque 𝑓 de 𝑥 est égal à moins six 𝑚 moins 18 fois le cosinus de 𝑥, lorsque 𝑥 est strictement inférieur à zéro et 𝑓 de 𝑥 est égal à à la tangente de 12𝑥 divisée par 𝑚 fois 𝑥, lorsque 𝑥 est strictement supérieur à zéro.

Dans cette question, on nous donne une fonction définie par morceaux 𝑓 de 𝑥, qui contient une inconnue 𝑚. Nous devons déterminer toutes les valeurs possibles de 𝑚 pour lesquelles la limite de cette fonction existe lorsque 𝑥 tend vers zéro. Pour répondre à cette question, il faut commencer par rappeler ce que signifie la limite d’une fonction en un point. Cependant, il y a plusieurs façons d’écrire ceci et il existe de nombreuses façons pour une limite de ne pas exister. Ainsi, au lieu de cela, il est généralement une bonne idée de jeter un œil aux images de la fonction autour de 𝑥. Cela peut donner une idée utile sur ce qui pourrait arriver à la fonction.

Nous pouvons remarquer quelque chose de très intéressant. 𝑥 est égal à zéro est l’un des points limites des sous-domaines de cette fonction. Cela signifie que notre fonction a une définition différente lorsque 𝑥 est strictement inférieur à zéro et une définition différente lorsque 𝑥 est strictement supérieur à zéro. Ainsi, pour que cette limite existe, nous allons devoir analyser les limites à gauche et à droite. Nous pouvons alors rappeler que nous disons que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 d’une fonction 𝑓 de 𝑥 existe et est égale à une valeur finie de 𝑙 si la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 à droite de 𝑓 de 𝑥 et la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 à gauche de 𝑓 de 𝑥 existent et sont toutes deux égales à 𝑙.

Cela signifie que nous pouvons vérifier que la limite d’une fonction existe en vérifiant quatre choses. Tout d’abord, nous devons vérifier que la limite à droite existe. Deuxièmement, nous devons vérifier qu’elle est égale à 𝑙. Troisièmement, nous devons vérifier que la limite à gauche existe. Enfin, nous devons vérifier qu’elle est aussi égale à 𝑙.

Pour appliquer cela à notre fonction, nous allons devoir évaluer ses limites gauche et droite. Commençons par la limite à gauche. Puisque notre valeur de 𝑎 est zéro, nous cherchons la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro à gauche de 𝑓 de 𝑥. Puisque nous prenons la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro à gauche de 𝑓 de 𝑥, nos valeurs de 𝑥 sont inférieures à zéro. Ainsi, notre fonction 𝑓 de 𝑥 est exactement égale à moins six 𝑚 moins 18 cosinus de 𝑥. Si les fonctions sont égales, leurs limites lorsque 𝑥 tend vers zéro à gauche seront égales. Nous avons juste besoin de trouver la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro à gauche de moins six 𝑚 moins 18 cosinus de 𝑥. Cette fonction est une constante plus une fonction trigonométrique, nous pouvons donc le faire en utilisant la substitution directe.

En substituant 𝑥 est égal à zéro dans cette fonction, nous obtenons moins six 𝑚 moins 18 multiplié par le cosinus de zéro. Le cosinus de zéro vaut un, nous obtenons donc juste moins six 𝑚 moins 18. Il convient de noter qu’il s’agit d’une valeur finie pour toute valeur réelle de 𝑚. Nous avons donc montré que cette limite existe et nous avons trouvé notre valeur de 𝑙. Alors, gardons cela à l’esprit pendant que nous essayons d’évaluer la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro à droite de 𝑓 de 𝑥. Cette fois, puisque nous prenons la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro à droite, nos valeurs de 𝑥 vont être supérieures à zéro, ce qui signifie que notre fonction 𝑓 de 𝑥 est exactement égale à la tangente de 12𝑥 divisé par 𝑚 fois 𝑥. Puisque les fonctions sont égales à droite de 𝑥, leur limite lorsque 𝑥 tend vers zéro à droite seront également égales.

Cela signifie que nous avons juste besoin de déterminer la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro à droite de la tangente de 12𝑥 divisé par 𝑚 fois 𝑥. Cette limite est très similaire à l’un de nos résultats de limites trigonométriques. Nous savons que pour toute constante réelle 𝑎, la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de la tangente de 𝑎𝑥 divisée par 𝑥 est égale à 𝑎. Il convient de noter que ces résultats resteront vrais même si nous cherchons les limites à gauche et à droite puisque la limite à gauche et la limite à droite doivent être égales pour que la limite standard existe. Nous ne pouvons cependant pas l’appliquer directement, car nous divisons par 𝑚 fois 𝑥 dans notre dénominateur.

Nous devons donc mettre un facteur de un sur 𝑚 en dehors de notre limite. Cela nous donne alors un sur 𝑚 multiplié par la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro à droite de la tangente de 12𝑥 divisé par 𝑥. Par notre résultat de limite, cela est égal au coefficient de 𝑥, qui est de 12. Nous obtenons donc 12 fois un sur 𝑚, soit 12 sur 𝑚. Par conséquent, la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 à droite de 𝑓 de 𝑥 existe, à condition que 𝑚 ne soit pas égal à zéro. Nous savions déjà que 𝑚 était différent de zéro puisque nous divisons par 𝑚 dans notre définition de 𝑓 de 𝑥.

Cela signifie que nous avons une dernière chose à vérifier. Nous avons besoin que la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro à gauche de 𝑓 de 𝑥 soit égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro à droite de 𝑓 de 𝑥 pour que cette limite existe. Nous pouvons substituer les expressions que nous avons trouvées pour chacune de ces limites. Nous avons besoin que moins six 𝑚 moins 18 soit égal à 12 divisé par 𝑚. Pour résoudre cette équation, nous allons commencer par multiplier les deux côtés de l’équation par 𝑚 et diviser par six. Cela nous donne que moins 𝑚 au carré moins trois 𝑚 est égal à deux. Nous pouvons alors réorganiser ce polynôme pour obtenir 𝑚 au carré plus trois 𝑚 plus deux est égal à zéro, puis factoriser complètement le polynôme. Nous obtenons 𝑚 plus un multiplié par 𝑚 plus deux est égal à zéro.

Bien sûr, pour qu’un produit soit égal à zéro, l’un des facteurs doit être nul. Nous avons donc soit 𝑚 est égal à moins un, soit 𝑚 est égal à moins deux. Nous pouvons les écrire comme un ensemble, l’ensemble contenant moins un et moins deux, ce qui est notre réponse finale. Par conséquent, nous avons pu montrer qu’il n’y a que deux valeurs pour lesquelles la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de 𝑓 de 𝑥 est égal à moins six 𝑚 moins 18 cosinus de 𝑥 lorsque 𝑥 est strictement inférieur à zéro et 𝑓 de 𝑥 égale à tangente de 12𝑥 divisé par 𝑚𝑥 lorsque 𝑥 est strictement supérieur à zéro existe et ces valeurs doivent être dans l’ensemble contenant moins un et moins deux.