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Considérons la courbe de la fonction d’expression 𝑓 de 𝑥 égal un sur un moins 𝑥 plus deux. Quel est sa limite lorsque 𝑥 tend vers un ? Option (A) la valeur de 𝑦 tend vers ∞ lorsque 𝑥 tend vers un par valeurs positives et tend vers moins ∞ lorsque 𝑥 tend vers un par valeurs négatives. Option (B) la valeur de 𝑦 tend vers moins ∞ lorsque 𝑥 tend vers un par valeurs positives et tend vers ∞ lorsque 𝑥 tend vers un par valeurs négatives. (C) La valeur de 𝑦 tend vers ∞ lorsque 𝑥 tend vers un par valeurs négatives ou par valeurs positives. Ou est-ce l’option (D) la valeur de 𝑦 tend vers moins ∞ lorsque 𝑥 tend vers un par valeurs négatives ou par valeurs positives ?
Dans cette question, on nous donne la courbe représentative d’une fonction d’expression : 𝑓 de 𝑥 égal un sur un moins 𝑥 plus deux. Et nous devons utiliser cette courbe ou l’expression de la fonction donnée pour déterminer le comportement asymptotique de cette courbe lorsque les valeurs de 𝑥 tendent vers un. Et il y a plusieurs manières de répondre à cette question. Par exemple, nous pouvons déterminer le comportement asymptotique de cette courbe lorsque 𝑥 tend vers un en utilisant uniquement l’expression de la fonction donnée.
Pour voir comment nous pourrions le faire, considérons le dénominateur dans l’expression de la fonction donnée : un moins 𝑥. Si nos valeurs de 𝑥 sont supérieures à un, ce qui signifie que 𝑥 tend vers un par valeurs positives, alors nous pouvons remarquer que un moins 𝑥 sera négatif, puisque nous soustrayons à un, un nombre supérieur à un. Nous pouvons également noter que lorsque les valeurs de 𝑥 se rapprochent de plus en plus de un, la valeur de un moins 𝑥 se rapproche de plus en plus de zéro. En d’autres termes, la distance entre un et 𝑥 diminue plus 𝑥 se rapproche de un. Nous divisons donc un par un nombre négatif de très petite amplitude. Et à mesure que la taille de ce nombre diminue, son inverse augmente. Et en ajoutant deux à cette valeur, cela ne changera rien. Ainsi, 𝑓 de 𝑥 tend vers moins ∞ lorsque nos valeurs de 𝑥 tendent vers un par valeurs positives.
Cependant, ce niveau d’analyse est très difficile. Donc, au lieu de cela, il est très utile de pouvoir le faire à partir d’un graphique donné ou, si possible, de réaliser un schéma pour nous aider à déterminer cette information. Nous pouvons le faire en rappelant que les antécédents par la fonction sont les abscisses 𝑥 du point sur la courbe et les images sont les ordonnées 𝑦 correspondantes. Cela signifie que nous pouvons déterminer ce qui arrive aux images par la fonction lorsque nos valeurs de 𝑥 tendent par valeurs positives en considérant ce qui arrive aux ordonnées 𝑦 des points qui se trouvent sur la courbe.
Pour ce faire, ajoutons la droite verticale d’équation 𝑥 égal un sur notre graphique. Nous pouvons voir que la courbe se rapproche de plus en plus de cette droite. Cependant, elle ne touche jamais la droite. Il s’agit d’une asymptote verticale de la courbe. En particulier, nous pouvons voir que alors que les valeurs de 𝑥 se rapprochent de la droite, les ordonnées 𝑦 des points de la courbe diminuent. Ils n’ont pas de bornes donc ils se rapprochent de moins ∞. Et nous obtenons une histoire semblable si nous regardons les valeurs de 𝑥 qui tendent vers un par valeurs négatives. Nous pouvons voir que les ordonnées 𝑦 du point sur la courbe deviennent de plus en plus grandes et elles n’ont pas de bornes. Donc, elles se rapprochent de plus ∞.
Et nous pouvons voir que cela ne correspond qu’avec l’option (B). La valeur de 𝑦 tend vers moins ∞ lorsque 𝑥 se rapproche de un par valeurs positives et tend vers ∞ lorsque 𝑥 se rapproche de un par valeurs négatives.
