Transcription de la vidéo
Calculez la dérivée de la fonction définie par 𝑦 égale deux 𝑥 à la puissance sept moins six 𝑥 à la puissance cinq plus quatre 𝑥 au cube moins huit le tout divisé par quatre 𝑥 à la puissance cinq.
La question veut que nous trouvions la dérivée du quotient de deux polynômes. Et puisque la question veut que nous dérivions le quotient de deux fonctions, nous le ferons en utilisant la règle du quotient. Nous rappelons que la règle du quotient dit que la dérivée du quotient de deux fonctions 𝑢 sur 𝑣 est égale à 𝑣 fois 𝑢 prime moins 𝑢 fois 𝑣 prime le tout divisé par 𝑣 au carré.
Donc, pour appliquer la règle du quotient, nous allons définir 𝑢 de 𝑥 comme étant le polynôme au numérateur. Il s’agit de deux 𝑥 à la puissance sept moins six 𝑥 à la puissance cinq plus quatre 𝑥 au cube moins huit. Et nous allons définir 𝑣 de 𝑥 comme étant le polynôme au dénominateur. Il s’agit de quatre 𝑥 à la puissance cinq. Maintenant, pour appliquer la règle du quotient, nous allons devoir trouver des expressions pour 𝑢 prime de 𝑥 et 𝑣 prime de 𝑥. Puisque ces deux éléments sont des polynômes, nous pouvons dériver terme à terme en utilisant la règle de puissance pour la dérivation.
Nous rappelons qu’elle dit que pour les constantes 𝑎 et 𝑛, la dérivée de 𝑎𝑥 à la puissance 𝑛 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑛 fois 𝑎 fois 𝑥 à la puissance 𝑛 moins un. Nous multiplions par l’exposant de 𝑥 puis réduisons cet exposant de un. En appliquant cette règle à chaque terme dans 𝑢 de 𝑥, nous obtenons 𝑢 prime de 𝑥 égale 14𝑥 à la puissance six moins 30𝑥 à la puissance quatre plus 12𝑥 au carré. Et nous pouvons faire la même chose pour trouver une expression pour 𝑣 prime de 𝑥 et nous obtenons 20𝑥 à la puissance quatre.
Nous sommes maintenant prêts à trouver une expression pour la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 en utilisant la règle du quotient. Nous obtenons qu’elle est égale à 𝑣 de 𝑥 fois 𝑢 prime de 𝑥 moins 𝑣 prime de 𝑥 fois 𝑢 de 𝑥 le tout divisé par 𝑣 de 𝑥 au carré. En substituant nos expressions 𝑣 de 𝑥, 𝑢 de 𝑥, 𝑢 prime de 𝑥 et 𝑣 prime de 𝑥. Nous obtenons que 𝑦 prime de 𝑥 est égale à quatre 𝑥 à la puissance cinq fois 14𝑥 à la puissance six moins 30𝑥 à la puissance quatre plus 12𝑥 au carré moins 20𝑥 à la puissance quatre, multiplié par deux 𝑥 à la puissance sept moins six 𝑥 à la puissance cinq plus quatre 𝑥 au cube moins huit le tout divisé par quatre 𝑥 à la puissance cinq au carré.
On pourrait être tenté de commencer à distribuer sur nos parenthèses. Cependant, il est plus facile de simplifier cette expression en factorisant. Au départ, nous allons simplifier le dénominateur. Nous avons quatre 𝑥 à la puissance cinq le tout au carré est égal à 16𝑥 à la puissance 10. Nous pouvons commencer à simplifier. Premièrement, le numérateur et le dénominateur partagent un facteur quatre 𝑥 à la puissance quatre. Donc, divisons le numérateur et le dénominateur par quatre 𝑥 à la puissance quatre.
Tout d’abord, en divisant le premier terme de notre numérateur par quatre 𝑥 à la puissance quatre, il nous reste 𝑥. Ensuite, pour diviser le deuxième terme de notre numérateur par quatre 𝑥 à la puissance quatre, nous simplifions le premier facteur à cinq. Enfin, nous devons diviser notre dénominateur par quatre 𝑥 à la puissance quatre. Nous voyons que cela nous laisse avec quatre 𝑥 à la puissance six, et cela nous donne l’expression suivante. À ce stade, il existe plusieurs méthodes que nous pourrions utiliser pour simplifier davantage cette expression. Nous pourrions continuer à factoriser notre numérateur ; cependant, nous allons simplifier cela en distribuant sur nos parenthèses et notre numérateur.
Commençons donc par distribuer 𝑥 sur les parenthèses dans le premier terme. Nous devons multiplier chaque terme à l’intérieur des parenthèses par 𝑥. Et pour ce faire, il suffit d’ajouter un à chacun de nos exposants de 𝑥. Cela nous donne 14𝑥 à la puissance sept moins 30𝑥 à la puissance cinq plus 12𝑥 au cube. Nous voulons maintenant faire la même chose avec le deuxième terme de notre numérateur. Rappelez-vous cependant qu’il y a quatre termes dans les parenthèses. Et nous devons multiplier chaque terme par moins cinq. En faisant cela et en faisant attention à nos signes, nous obtenons moins 10𝑥 à la puissance sept plus 30𝑥 à la puissance cinq moins 20𝑥 au cube plus 40.
Enfin, rappelez-vous, nous devons diviser tout cela par quatre 𝑥 à la puissance six. Nous pouvons maintenant simplifier le numérateur en combinant les termes similaires. Premièrement, moins 30𝑥 à la puissance cinq plus 30𝑥 à la puissance cinq vaut zéro. Ensuite, si nous avons 14𝑥 à la puissance sept et que nous soustrayons 10𝑥 à la puissance sept, il nous reste quatre 𝑥 à la puissance sept. De même, si nous avons 12𝑥 au cube et que nous soustrayons 20𝑥 au cube, il nous restera moins huit 𝑥 au cube. Nous avons maintenant simplifié cette expression pour avoir quatre 𝑥 à la puissance sept moins huit 𝑥 au cube plus 40 le tout divisé par quatre 𝑥 à la puissance six.
Et nous pourrions laisser notre réponse comme ceci. Cependant, nous allons diviser chaque terme du numérateur par le dénominateur. Faisons ceci terme à terme. Premièrement, pour diviser quatre 𝑥 à la puissance sept par quatre 𝑥 à la puissance six, nous pouvons annuler le facteur commun de quatre et nous pouvons annuler six des exposants communs de 𝑥. Cela nous laisse juste avec 𝑥. Ensuite, dans le deuxième terme, nous avons huit divisé par quatre nous laissera avec deux, puis 𝑥 au cube divisé par 𝑥 à la puissance six nous laissera avec 𝑥 au cube au dénominateur. Le deuxième terme se simplifie donc pour nous donner moins deux divisé par 𝑥 au cube.
Enfin, dans notre troisième terme, nous avons 40 divisé par quatre est égal à 10. Donc, notre troisième terme se simplifie pour nous donner 10 divisé par 𝑥 à la puissance six. Et encore une fois, nous pourrions laisser notre réponse comme ceci. Cependant, nous utiliserons les lois des exposants pour réécrire les divisions en multiplications. Ainsi, en utilisant le fait que diviser par 𝑥 au cube équivaut à multiplier par 𝑥 à la puissance moins trois et diviser par 𝑥 à la puissance six revient à multiplier par 𝑥 à la puissance moins six. Nous avons pu réécrire notre réponse comme 𝑥 moins deux 𝑥 à la puissance moins trois plus 10𝑥 à la puissance moins six. Et voici notre réponse finale.
Par conséquent, nous avons pu montrer en utilisant la règle du quotient. Que si 𝑦 est égal à deux 𝑥 à la puissance sept moins six 𝑥 à la puissance cinq plus quatre 𝑥 au cube moins huit le tout divisé par quatre 𝑥 à la puissance cinq. Alors la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑥 moins deux 𝑥 à la puissance moins trois plus 10𝑥 à la puissance moins six.