Le portail a été désactivé. Veuillez contacter l'administrateur de votre portail.

Vidéo de la leçon : Conservation de l’énergie Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à appliquer le principe de la conservation de l’énergie pour résoudre des problèmes sur des objets en mouvement.

16:11

Transcription de vidéo

Dans cette leçon, nous allons apprendre à appliquer le principe de la conservation de l’énergie pour résoudre des problèmes sur des objets en mouvement. Commençons par définir la conservation de l’énergie.

La conservation de l’énergie signifie que l’énergie totale d’un système isolé reste constante. Sous forme d’équation, on peut dire que l’énergie initiale totale du système, 𝐸 indice 𝑖, est égale à l’énergie finale totale du système, 𝐸 indice 𝑓. Dans cette vidéo, lorsque nous parlons de l’énergie totale du système, 𝐸, nous parlons de l’énergie potentielle plus l’énergie cinétique plus le travail effectué contre le frottement.

Rappelons que l’énergie potentielle gravitationnelle d’un objet, 𝑃𝐸, est égale à 𝑚𝑔ℎ, avec 𝑚 la masse de l’objet mesurée en kilogrammes, 𝑔 l’accélération due à la gravitation mesurée en mètres par seconde au carré, et ℎ la hauteur de l’objet au-dessus d’un point de référence mesuré en mètres. Nous devons également rappeler que l’énergie cinétique d’un objet est égale à la moitié de 𝑚𝑣 au carré, avec 𝑚 représentant à nouveau la masse mesurée en kilogrammes et 𝑣 la vitesse de l’objet mesurée en mètres par seconde.

Le travail effectué contre le frottement peut être développée pour être la force de frottement multipliée par le déplacement, avec la force de frottement parallèle au déplacement. La force de frottement, 𝐹 indice 𝑓, est mesurée en newtons et le déplacement est mesuré en mètres. Un ballon qui est lâché aura toute son énergie initiale comme énergie potentielle lorsqu’il est lâché et toute son énergie finale comme énergie cinétique, quand il est sur le point de toucher le sol. Si la résistance de l’air est négligeable, alors nous pouvons dire que l’énergie potentielle du ballon lorsqu’il tombe est égale à l’énergie cinétique du ballon juste avant qu’il ne touche le sol.

Appliquons le principe de conservation de l’énergie à quelques exemples de problèmes, en commençant par un objet sur un plan incliné lisse.

Un objet a commencé à glisser sur un plan lisse et incliné. Quand il était au sommet, son énergie gravitationnelle potentielle par rapport au bas du plan incliné était de 1830,51 joules. Quand il a atteint le bas du plan incliné, sa vitesse était de 8,6 mètres par seconde. Trouvez la masse de l’objet.

Lorsque notre objet est en haut du plan incliné, il a une énergie potentielle de 1830,51 joules. Quand il arrive en bas du plan incliné, il se déplace à une vitesse de 8,6 mètres par seconde. Nous pouvons appliquer le principe de conservation de l’énergie pour déterminer notre masse inconnue. Sous forme d’équation, le principe stipule que l’énergie initiale totale d’un système est égale à l’énergie finale totale du système.

En regardant notre schéma, nous pouvons voir que notre énergie initiale est que l’énergie potentielle. Et puisque l’objet se déplace quand il atteint le bas du plan incliné, l’énergie finale totale est l’énergie cinétique. Pour trouver la masse, nous devons développer l’énergie cinétique. Rappelons que l’énergie cinétique est égale à la moitié de 𝑚𝑣 au carré, avec 𝑚 la masse de l’objet et 𝑣 la vitesse de l’objet. En utilisant la forme développée de l’énergie cinétique, nous savons maintenant que l’énergie potentielle en haut du plan incliné est égale à un demi 𝑚𝑣 au carré en utilisant la vitesse de l’objet en bas du plan incliné.

En utilisant les valeurs qui nous sont données dans le problème, nous avons une énergie potentielle de 1830,51 et une vitesse de 8,6. Pour isoler le 𝑚, nous multiplions les deux côtés par deux. Cela annule le un-demi du côté droit de l’équation. Ensuite, nous divisons les deux côtés par 8,6 au carré. Cela annule ce terme du côté droit de l’équation. Cela nous laisse avec seulement le terme 𝑚 du côté droit de l’équation. Lorsque nous effectuons les calculs du côté gauche de l’équation, nous obtenons 49,5. Nous cherchons la masse, qui est mesurée en kilogrammes. La masse de l’objet qui a glissé sur le plan incliné est de 49,5 kilogrammes.

Dans le prochain problème, nous utiliserons le principe de conservation de l’énergie pour calculer le travail effectué contre le frottement sur un plan incliné rugueux.

Un objet est projeté vers le haut sur un plan incliné rugueux à partir du bas. Son énergie cinétique initiale était de 242 joules. Le corps a continué à se déplacer jusqu’à ce qu’il atteigne sa hauteur maximale, puis a glissé vers le bas. Quand il a atteint le bas, son énergie cinétique était de 186 joules. Trouvez le travail effectué contre le frottement 𝑊 lors de la montée et le gain d’énergie potentielle gravitationnelle 𝑃 lorsque l’objet était à sa hauteur maximale.

Ci-dessous, nous avons dessiné un schéma pour représenter le problème. Sur le schéma, nous avons étiqueté l’énergie cinétique initiale et finale de l’objet au bas du plan incliné. Nous avons également étiqueté le travail inconnu effectué contre le frottement pour la montée et l’énergie potentielle gravitationnelle inconnue de l’objet à sa hauteur maximale. Nous avons deux variables inconnues que nous allons chercher. Commençons par chercher le travail effectué contre le frottement pendant la montée.

Nous pouvons appliquer le principe de conservation de l’énergie, qui stipule que l’énergie initiale totale d’un système est égale à l’énergie finale totale du système. Au départ, la seule énergie dont dispose l’objet est l’énergie cinétique. Nous pouvons donc remplacer l’énergie initiale totale du système par l’énergie cinétique initiale. L’énergie finale totale du système sera l’énergie cinétique de l’objet en bas du plan incliné plus le travail total effectué contre le frottement. Le travail total effectué contre le frottement sera le double du travail effectué contre le frottement lors de la montée, car notre objet monte puis redescend le plan incliné. C’est pourquoi nous utilisons deux 𝑊 pour représenter le travail total contre le frottement.

En utilisant nos valeurs pour l’énergie cinétique initiale et l’énergie cinétique finale, nous sommes maintenant prêts à trouver 𝑊. Nous commençons par soustraire 186 des deux côtés de l’équation, en supprimant ce terme du côté droit. Le côté gauche de l’équation devient 56, et le côté droit de l’équation devient deux 𝑊. Ensuite, nous divisons les deux côtés de l’équation par deux, en supprimant le terme situé à droite de l’équation. En divisant 56 par deux, nous obtenons 28. Et le travail est mesuré en joules. Le travail effectué contre le frottement pendant la montée est de 28 joules.

Nous pouvons une fois de plus utiliser le principe de conservation de l’énergie pour déterminer l’énergie potentielle gravitationnelle de l’objet à sa hauteur maximale. L’énergie initiale totale du système est toujours l’énergie cinétique initiale de l’objet. Mais l’énergie totale finale du système à la hauteur maximale est l’énergie potentielle gravitationnelle 𝑃 plus le travail effectué contre le frottement lors de la remontée 𝑊. En utilisant les valeurs de l’énergie cinétique initiale totale et du travail effectué contre le frottement pendant la montée, nous sommes prêts à trouver 𝑃.

Pour isoler 𝑃, nous devons soustraire 28 des deux côtés de l’équation, en soustrayant ainsi le 28 du côté droit, ce qui nous donne une valeur pour l’énergie potentielle gravitationnelle de 214 joules. Le gain en énergie potentielle gravitationnelle 𝑃 lorsque l’objet est à sa hauteur maximale est de 214 joules.

Pour notre prochain exemple, nous appliquerons la conservation de l’énergie pour calculer la variation d’énergie d’un objet en chute libre.

Un objet d’une masse de neuf kilogrammes tombe verticalement à partir d’un point situé à 3,4 mètres du sol. À un certain moment, la vitesse de l’objet est de 3,9 mètres par seconde. Déterminez la variation de l’énergie potentielle gravitationnelle de l’objet à partir de ce point jusqu’à ce qu’il atteigne un point situé à 68 centimètres du sol. Prendre 𝑔 est égal à 9,8 mètres par seconde au carré.

Notre objet est tombé d’une hauteur de 3,4 mètres. Nous recherchons le changement d’énergie potentielle gravitationnelle entre le moment où notre objet a une vitesse de 3,9 mètres par seconde et où l’objet est situé à une hauteur de 68 centimètres au-dessus du sol. Avant de pouvoir déterminer la variation de l’énergie potentielle gravitationnelle de notre objet, nous devons d’abord déterminer sa hauteur au-dessus du sol lorsque sa vitesse est de 3,9 mètres par seconde. Nous pouvons utiliser le principe de conservation de l’énergie, l’énergie initiale totale du système étant égale à l’énergie finale totale du système, pour déterminer la hauteur inconnue.

L’énergie initiale totale est l’énergie potentielle lorsque notre objet tombe d’une certaine hauteur. Notre énergie finale totale est composée de l’énergie potentielle, car notre objet est à une hauteur inconnue au-dessus du sol, ainsi que de l’énergie cinétique, car notre objet se déplace maintenant. Rappelons que l’énergie potentielle d’un objet est égale à la masse de l’objet multipliée par l’accélération due à la gravitation multipliée par la hauteur de l’objet au-dessus du sol.

Pour faire la différence entre nos deux hauteurs, nous pouvons appeler notre hauteur initiale ℎ indice 𝑖 et notre hauteur finale ℎ. Pour l’énergie cinétique de l’objet, nous devons nous rappeler que l’énergie cinétique est égale à la moitié de la masse multipliée par la vitesse de l’objet au carré. En regardant l’équation développée, nous pouvons voir qu’il y a un 𝑚 dans chacun de nos termes. Puisque notre 𝑚 est différent de zéro dans ce problème, nous pouvons l’annuler pour chacun des termes.

En utilisant les valeurs de notre problème, nous avons 9,8 pour 𝑔, 3,4 pour la hauteur initiale et 3,9 pour notre vitesse. Le côté gauche de l’équation devient 33,32 et le côté droit devient 9,8 fois ℎ plus 7,605. Pour isoler ℎ, nous pouvons soustraire 7,605 des deux côtés de l’équation, en supprimant le terme du côté droit. En soustrayant le terme du côté gauche de l’équation, nous obtenons 25,715.

La dernière étape pour trouver ℎ est la division des deux côtés par 9,8, pour annuler le terme du côté droit. La hauteur de l’objet au-dessus du sol lorsque sa vitesse est de 3,9 mètres par seconde est de 2,62398 mètres. Maintenant que nous connaissons la hauteur, nous pouvons trouver la variation de l’énergie entre le moment où l’objet est à 2,62398 mètres et le moment où il est à 68 centimètres du sol. La variation de l’énergie potentielle, Δ𝑃𝐸, est égale à l’énergie potentielle finale moins l’énergie potentielle initiale. L’énergie potentielle gravitationnelle est égale à 𝑚𝑔ℎ. Nous pouvons donc remplacer 𝑃𝐸 final par 𝑚𝑔ℎ final et 𝑃𝐸 initiale par 𝑚𝑔ℎ initiale.

Nous recherchons le changement d’énergie potentielle gravitationnelle à partir du moment où l’objet est à une hauteur de 2,62398 mètres par rapport au moment où il est à 68 centimètres au-dessus du sol. Par conséquent, 2,62398 mètres sera notre hauteur initiale et 68 centimètres notre hauteur finale. Mais il y a un problème. Ces mesures ont différentes unités, mètres en centimètres. Nous devrons donc convertir 68 centimètres en mètres, en utilisant le facteur de conversion qu’un mètre est égal à 100 centimètres. Lorsque nous convertissons 68 centimètres en mètres en divisant par 100, nous obtenons 0,68 mètres.

Les deux termes du côté droit de l’équation ont 𝑚 fois 𝑔. Par conséquent, nous pouvons factoriser le terme 𝑚 fois 𝑔 et le mettre devant. En utilisant les valeurs de notre problème avec la masse de neuf, 𝑔 de 9,8, la hauteur finale de 0,68 et la hauteur initiale de 2,62398, nous calculons que la variation de l’énergie potentielle est moins 171,459 joules, le moins nous indiquant qu’il s’agit d’une perte en énergie.

Le problème nous a demandé de trouver le changement d’énergie potentielle et ne nous demande pas de dire si c’est un gain ou une perte. Nous pouvons donc appliquer notre valeur absolue aux deux côtés de l’équation. La variation de l’énergie potentielle gravitationnelle entre les deux positions est de 171,459 joules.

Dans notre prochain exemple de problème, nous utiliserons le principe de conservation de l’énergie là où nous devons tenir compte du frottement.

Le schéma montre un objet de masse d’un quart de kilogramme avant qu’il ne commence à glisser sur la surface. Les deux surfaces 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 sont lisses. Cependant, le plan horizontal 𝐵𝐶 est rugueux et son coefficient de frottement cinétique est de sept dixièmes. Si l’objet a commencé à se déplacer en commençant au repos, trouvez la distance sur laquelle l’objet a parcouru 𝐵𝐶 jusqu’à ce qu’il s’arrête. Considérons que l’accélération due à la gravitation est 𝑔 égale à 9,8 mètres par seconde au carré.

Nous pouvons ajouter les étiquettes de la masse égale à un quart de kilogramme et 𝜇, le coefficient de frottement cinétique, égal à sept dixièmes sur la figure. Nous pouvons appliquer le principe de conservation de l’énergie, à notre problème, avec l’énergie initiale totale du système égale à l’énergie finale totale du système.

Initialement, en position 𝐴, l’objet est au repos, donc la seule forme d’énergie que l’objet a est l’énergie potentielle gravitationnelle. L’objet est au repos quelque part le long du plan de 𝐵𝐶. Par conséquent, l’énergie finale n’a pas d’énergie potentielle ou d’énergie cinétique, seulement le travail effectué contre le frottement. Rappelons que l’énergie potentielle gravitationnelle d’un objet est égale à la masse de l’objet multiplié par l’accélération due à la gravitation multipliée par la hauteur de l’objet au-dessus du sol.

Nous pouvons remplacer par 𝑚𝑔ℎ l’énergie potentielle de notre formule. Rappelons également que le travail effectué contre le frottement est égal à la force de frottement multipliée par la distance parcourue, ce qui nous permet de remplacer le travail par la force de frottement multiplié par la distance. Le problème ne nous donne pas la force de frottement, mais il nous donne le coefficient de frottement cinétique. Nous devons donc utiliser la définition de la force de frottement, qui est le coefficient de frottement cinétique multiplié par la force de réaction normale.

La force de réaction normale est la force qu’une surface exerce sur un objet. Lorsqu’un objet se déplace le long d’une surface horizontale, comme cela se produit dans ce problème, sans d’autres forces verticales que la force gravitationnelle et la force de réaction normale agissant sur celui-ci, nous pouvons dire que l’intensité de la force de réaction normale est égale à l’intensité de la force de gravitation, où l’intensité de la force gravitationnelle est la masse de l’objet multipliée par l’accélération due à la gravitation.

En regardant notre équation développée, nous pouvons voir qu’il y a un 𝑚 et un 𝑔 des deux côtés de l’équation. Comme ces deux nombres ne sont pas nuls, nous pouvons les annuler. Maintenant, nous pouvons insérer les valeurs de notre problème, quatre pour la hauteur et sept dixièmes pour le coefficient de frottement cinétique. Pour isoler 𝑑, nous pouvons multiplier les deux côtés de l’équation par 10 sur sept. Cela annulera les sept dixièmes du côté droit. Le côté gauche de l’équation devient 40 sur sept. La distance parcourue par l’objet sur 𝐵𝐶 jusqu’à ce qu’il s’arrête est de 40 sur sept mètres.

Récapitulons les points clés de la leçon.

Points clés

Le principe de conservation de l’énergie : l’énergie totale d’un système isolé reste constante. Sous forme d’équation, on peut dire que le principe de conservation de l’énergie est 𝐸 indice 𝑖, l’énergie initiale totale du système, est égale à 𝐸 indice 𝑓, l’énergie finale totale du système. Lorsqu’il y a un frottement, le travail effectué contre le frottement doit être inclus dans le calcul.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.