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Vidéo question :: Utiliser la méthode de la masse négative pour déterminer le centre de gravité d’une plaque Mathématiques • Troisième année secondaire

Soit une plaque rectangulaire homogène 𝐴𝐵𝐶𝐷 telle que 𝐴𝐵 = 56 cm et 𝐵𝐶 = 35 cm. Deux points 𝐸 et 𝐹 appartiennent au segment 𝐴𝐵 tels que 𝐴𝐸 = 𝐵𝐹 = 14 cm. Le triangle 𝑀𝐸𝐹, où 𝑀 est le centre du rectangle, est extrait de la plaque. Déterminez les coordonnées du centre de gravité de la plaque qui en résulte. Si on laisse la plaque pendre librement au point 𝐷, alors déterminez la tangente de l’angle que 𝐷𝐴 forme avec la verticale, tan 𝜃, lorsque la plaque suspendue est en état d’équilibre.

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Transcription de la vidéo

Soit une plaque rectangulaire homogène 𝐴𝐵𝐶𝐷 telle que 𝐴𝐵 égale 56 centimètres et 𝐵𝐶 égale 35 centimètres. Deux points 𝐸 et 𝐹 appartiennent au segment 𝐴𝐵 tels que 𝐴𝐸 égale 𝐵𝐹 égale 14 centimètres. Le triangle 𝑀𝐸𝐹, où 𝑀 est le centre du rectangle, est extrait de la plaque rectangulaire. Déterminez les coordonnées du centre de gravité de la plaque qui en résulte. Si on laisse la plaque pendre librement au point 𝐷, alors déterminez la tangente de l’angle que 𝐷𝐴 forme avec la verticale, tangente thêta, lorsque la plaque suspendue est en état d’équilibre.

Dans cette question, notre première tâche est de déterminer le centre de gravité. Nous avons deux plaques dans le scénario qui nous est présenté. Une plaque rectangulaire, dont le centre de gravité coïncide avec le centre géométrique 𝑀, et une plaque triangulaire qui a été extraite et qui possède son propre centre de gravité coïncidant avec son centre géométrique. Nous notons 𝑚 un la masse de la plaque rectangulaire dont on n’a pas encore extrait le triangle. Nous notons 𝑚 deux la masse de la plaque triangulaire qui est extraite du rectangle. En utilisant la méthode de la masse négative, nous pouvons traiter ce triangle comme une plaque indépendante de masse négative égale à moins 𝑚 deux. Nous pouvons modéliser ces deux plaques par deux particules de masses 𝑚 un et mois 𝑚 deux situées aux centres de masse des plaques.

Nous rappelons que la coordonnée 𝑥 du centre de gravité de deux particules est donnée par la somme de chaque masse multipliée par sa coordonnée 𝑥, le tout divisé par la masse totale ; il en va de même pour la coordonnée 𝑦. Dans notre cas, la coordonnée 𝑥 du centre de gravité est facile à déterminer. D’après l’énoncé, les segments 𝐴𝐸 et 𝐵𝐹 mesurent tous les deux 14 centimètres. Par conséquent, la longueur de la base du triangle est égale à 56 moins 14 moins 14, soit 28 centimètres. Et cette base de notre triangle est centrée au milieu du côté supérieur du rectangle. Puisque le sommet du triangle opposé à sa base coïncide avec le milieu du rectangle, le triangle est isocèle. Par conséquent, le centre de gravité de la plaque triangulaire est aligné verticalement au-dessus du milieu du rectangle.

Ainsi, les deux plaques partagent un même axe de symétrie vertical, donc leurs centres de masse ont la même coordonnée 𝑥, qui est égale à la moitié de la largeur du rectangle, soit 56 divisé deux, ce qui fait 28. Pour la coordonnée 𝑦, nous devrons faire le calcul complet. Tout d’abord, la particule modélisant la plaque triangulaire extraite du rectangle a une masse négative. Nous devons donc remplacer ces signes plus dans la formule par des signes moins. Nous devons ensuite déterminer les masses de chacune des deux particules. Étant donné que la plaque est homogène, sa densité est partout la même. Par conséquent, la masse de la plaque rectangulaire et celle de la plaque triangulaire sont directement proportionnelles à leurs aires.

D’après l’énoncé, 𝐵𝐶 mesure 35 centimètres. Par conséquent, l’aire du rectangle complet est égale à 56 fois 35, soit 1960 centimètres carrés. Pour le triangle, nous savons que son sommet inférieur coïncide avec le milieu du rectangle. Par conséquent, sa hauteur est égale à 35 sur deux centimètres. L’aire du triangle est donnée par la moitié de sa base multipliée par sa hauteur, soit un demi fois 28 fois 35 sur deux, ce qui est égal à 245 centimètres carrés.

Nous devons maintenant déterminer les coordonnées 𝑦 des centres de gravité des deux plaques. Celle du rectangle est facile à déterminer. La coordonnée 𝑦 du centre de gravité du rectangle se trouve à mi-hauteur du rectangle, donc elle est égale à 35 sur deux. Pour le triangle, nous rappelons que le centre géométrique d’un triangle se trouve au tiers du segment qui relie le milieu de la base au sommet opposé. Donc la distance entre le haut du rectangle et le centre de gravité du triangle est égale à un tiers fois la hauteur du triangle, soit un tiers fois 35 sur deux, ce qui est égal à 35 sur six. Par conséquent, la coordonnée 𝑦 du centre de gravité du triangle est égale à 35 moins 35 sur six, soit 175 sur six.

Nous avons maintenant tout ce qu’il nous faut pour déterminer la coordonnée 𝑦 du centre de gravité de la plaque dont on a retiré le triangle. Les masses de chacune des deux plaques sont données par la densité, rhô, multipliée par l’aire de la plaque en question, soit 𝐴 un pour le rectangle et 𝐴 deux pour le triangle. Mais puisque la densité est uniforme, rhô est constante et nous pouvons simplifier chaque terme par le facteur commun rhô. Nous avons donc l’aire de la plaque rectangulaire, 1960, multipliée par la coordonnée 𝑦 de son centre de gravité, 35 sur deux. Et puisque nous traitons la plaque triangulaire comme une masse négative, nous soustrayons l’aire du triangle, 245, multipliée par la coordonnée 𝑦 du centre de gravité du triangle, 175 sur six. Enfin, nous divisons le tout par l’aire de la plaque résultante, qui est égale à 1960 moins 245. L’expression se simplifie pour donner 95 sur six. Nous pouvons donc répondre à la première partie de la question en disant que les coordonnées du centre de gravité de la plaque résultante sont 28, 95 sur six.

Nous devons maintenant déterminer la tangente de l’angle formé par 𝐷𝐴 et la verticale lorsque la plaque est suspendue en 𝐷. Nous venons de déterminer que le centre de gravité de la plaque a pour coordonnées 28, 95 sur six, donc il se situe à peu près ici sur notre diagramme. Lorsque la plaque est suspendue au point 𝐷 dans sa position d’équilibre, le centre de gravité s’aligne sur la verticale sous le point 𝐷. Par conséquent, lorsque la plaque est suspendue, cette ligne pointillée bleue correspond à la verticale. On nous demande de déterminer la tangente de cet angle, l’angle entre 𝐷𝐴 et la verticale. Nous pouvons former un triangle rectangle en traçant la droite horizontale qui passe par le centre de gravité de la plaque. Alors, la tangente de cet angle thêta est donnée par la longueur du côté opposé du triangle divisée par la longueur du côté adjacent. Ces longueurs sont simplement égales aux coordonnées 𝑥 et 𝑦 du centre de gravité. Cela nous donne donc 28 sur 95 sur six. Nous simplifions et obtenons notre réponse finale, tangente thêta égale 168 sur 95.

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