Vidéo : Déterminer le produit scalaire entre vecteurs

Sachant que les coordonnées de 𝐴, 𝐵 et 𝐶 sont respectivement (2, −4, −2), (−2, 3, 3) et (4, 2, 5), détermine 𝐴𝐵 ⋅ 𝐴𝐶.

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Transcription de vidéo

Sachant que les coordonnées de 𝐴, 𝐵 et 𝐶 sont deux et moins quatre, moins deux ; moins deux, trois, troi s; et quatre, deux, cinq, respectivement, détermine la valeur du produit scalaire de 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶.

Nous voulons trouver le produit scalaire des vecteurs 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶. Et pour ce faire, nous aurons besoin de leurs normes et de la mesure de l’angle entre eux ou nous aurons besoin de leurs coordonnées. Nous ne donnons aucun de ces ensembles d’informations directement dans la question.

Cependant, on nous donne les coordonnées des points 𝐴, 𝐵 et 𝐶. Et à partir de ces coordonnées, nous pouvons calculer les coordonnées des vecteurs 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶. Nos points ont trois coordonnées et sont donc dans un espace tridimensionnel. Nos vecteurs seront donc également en trois dimensions.

La coordonnée 𝑥 de 𝐴𝐵 nous indique jusqu’où nous devons nous déplacer dans la direction des 𝑥 du point initial 𝐴 au point terminal 𝐵. En regardant les coordonnées 𝑥 de 𝐴 et 𝐵, nous voyons que notre valeur initiale de 𝑥 est deux et que notre valeur terminale est moins deux. Nous avons donc dû nous déplacer de moins quatre unités.

Nous faisons le même calcul pour la coordonnée 𝑦, nous commençons à moins quatre et déplaçons de trois. Nous nous sommes donc déplacés de sept unités. Pour passer de moins deux à trois, nos coordonnées 𝑧 doivent être cinq.

Nous faisons la même chose pour trouver les coordonnées du vecteur 𝐴𝐶. La coordonnée 𝑥 est quatre moins deux égal deux. La coordonnée 𝑦 est deux moins moins quatre, qui est six. Et la coordonnée 𝑧 est égale à cinq moins moins deux, soit sept.

Après avoir trouvé leurs coordonnées, nous calculons le produit scalaire de manière normale. C’est le produit des coordonnées 𝑥 plus le produit des coordonnées 𝑦 plus les produits des coordonnées 𝑧. En évaluant cela, nous trouvons que le produit scalaire est égal à 69.

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