Vidéo question :: Calcul du produit scalaire de deux vecteurs affichés sur un quadrillage Physique

Transcription de la vidéo

La figure montre deux vecteurs, 𝐀 et 𝐁. Chacun des carrés du quadrillage sur la figure a un côté de longueur un. Calculez 𝐀 scalaire 𝐁.

Dans cette question, on nous donne deux vecteurs, 𝐀 et 𝐁, sous la forme de flèches dessinées sur un diagramme. On nous demande ensuite de calculer le produit scalaire de ces vecteurs, 𝐀 scalaire 𝐁. Commençons par rappeler la définition du produit scalaire de deux vecteurs. Nous allons considérer deux vecteurs généraux, que nous appellerons 𝐂 et 𝐃. Et nous supposerons que ces deux vecteurs se trouvent dans le plan 𝑥𝑦. Ensuite, nous pouvons écrire ces vecteurs sous forme de composante comme une composante 𝑥 marquée avec un indice 𝑥 multipliée par 𝐢 chapeau plus une composante marquée avec un indice 𝑦 multipliée par 𝐣 chapeau.

Rappelez-vous que 𝐢 chapeau est le vecteur unitaire dans la direction 𝑥 et 𝐣 chapeau est le vecteur unitaire dans la direction 𝑦. Ensuite, nous avons que le produit scalaire 𝐂 scalaire 𝐃 est égal à la composante 𝑥 de 𝐂 multipliée par la composante 𝑥 de 𝐃 plus la composante 𝑦 de 𝐂 multipliée par la composante 𝑦 de 𝐃. Donc, en général, nous pouvons dire que le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit des composantes 𝑥 de ces deux vecteurs plus le produit de leurs composantes 𝑦. Cette expression pour le produit scalaire de deux vecteurs nous dit que si nous voulons calculer notre produit scalaire 𝐀 scalaire 𝐁, alors nous allons devoir determiner les composantes 𝑥 et 𝑦 de nos vecteurs 𝐀 et 𝐁.

Maintenant, les vecteurs 𝐀 et 𝐁 sont dessinés comme des flèches sur un diagramme. Et on nous dit dans la question que les carrés du quadrillage sur ce diagramme ont chacun un côté de longueur un. Si nous ajoutons des axes à notre diagramme avec l’origine positionnée à la queue des deux vecteurs, alors nous pouvons facilement compter le nombre de carrés dont chaque vecteur s’étend dans la direction 𝑥 et la direction 𝑦. Et puisque nous savons que chaque carré a un côté de longueur un, alors le nombre de carrés donne directement les composantes 𝑥 et 𝑦 des vecteurs. Commençons par le vecteur 𝐀.

Nous voyons que 𝐀 s’étend trois unités dans le sens positif suivant 𝑥 et de quatre unités dans le sens positif suivant 𝑦. Cela signifie que la composante 𝑥 de 𝐀 est trois et la composante 𝑦 est quatre. Ainsi, nous pouvons écrire le vecteur 𝐀 sous forme de composante comme trois multiplié par 𝐢 chapeau plus quatre multiplié par 𝐣 chapeau. Maintenant, faisons la même chose avec le vecteur 𝐁. Nous voyons que 𝐁 s’étend de deux unités dans le sens négatif suivant 𝑥 et de sept unités dans le sens positif suivant 𝑦. Ainsi, la composante 𝑥 de 𝐁 est moins deux et la composante 𝑦 est plus sept. Et nous pouvons écrire 𝐁 sous forme de composante comme moins deux 𝐢 chapeau plus sept 𝐣 chapeau.

Maintenant que nos deux vecteurs 𝐀 et 𝐁 sont écrits sous forme de composantes, nous sommes prêts à calculer leur produit scalaire. En regardant notre expression générale pour le produit scalaire de deux vecteurs, nous voyons que le premier terme de cette expression est le produit des composantes 𝑥 des vecteurs. Donc, dans notre cas, nous avons besoin de la composante 𝑥 de 𝐀, qui est trois, multipliée par la composante 𝑥 de 𝐁, qui est moins deux. Ensuite, nous devons ajouter un deuxième terme qui est égal au produit des composantes 𝑦 des vecteurs. Donc, pour nous, c’est la composante 𝑦 de 𝐀, qui est quatre, multipliée par la composante 𝑦 de 𝐁, qui est sept.

La dernière étape qui reste à faire est de calculer cette expression. Le premier terme, trois multiplié par moins deux, nous donne moins six, et le deuxième terme, quatre multiplié par sept, donne 28. Ensuite, en additionnant moins six et 28, nous obtenons un résultat de 22. Donc, notre réponse à la question est que le produit scalaire 𝐀 scalaire 𝐁 est égal à 22.