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Vidéo de la leçon : Représentation graphique d’une fonction affine Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à représenter graphiquement des fonctions affines.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à représenter graphiquement des fonctions affines. Nous identifierons la pente et l’ordonnée à l’origine de la droite, et apprendrons à utiliser un tableau de valeurs pour tracer la représentation graphique d’une fonction.

Commençons par réfléchir à ce qu’est une fonction affine. La forme générale d’une fonction affine est 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑏, ou parfois 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑐. Une fonction affine a deux variables 𝑥 et 𝑦, et la seule puissance de 𝑥 est la puissance un. Dans l’équation de cette fonction affine, la lettre 𝑚, qui est le coefficient de 𝑥, représente la pente de la droite. La pente d’une droite indique à quel point la droite est raide. La constante 𝑏 ou , indique quant à elle l’ordonnée à l’origine de la fonction affine. Voyons donc quelques représentations graphiques de fonctions affines.

En commençant par une des fonctions affines les plus élémentaires, la droite 𝑦 égale 𝑥, on peut voir que la pente, le coefficient de 𝑥, est égale à un. Et il n’y a pas de terme constant à la fin de l’expression de cette fonction, ce qui indique que l’ordonnée à l’origine est égale à zéro. On peut en effet voir que la droite coupe l’axe des ordonnées au point zéro, zéro. Si on la compare à la droite 𝑦 égale 𝑥 plus deux, on peut voir que la pente est toujours égale à un. Mais cette fois, l’ordonnée à l’origine est plus deux, et on peut voir que la droite coupe bien l’axe des ordonnées au point deux.

Et si nous souhaitons à présent tracer la représentation graphique de la fonction 𝑦 égale 𝑥 moins un, à quoi ressemblerait-elle ? Eh bien, la pente de la droite sera la même que celle des deux autres droites. Et son ordonnée à l’origine sera cette fois de moins un. Pour trouver l’ordonnée à l’origine d’une droite à partir de l’expression de la fonction, il suffit de trouver la valeur de la constante lorsque l’équation est sous la forme 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑏. Et si nous n’avons que la représentation graphique de la fonction, alors nous pouvons identifier l’ordonnée à l’origine en regardant simplement où la droite coupe l’axe des ordonnées.

Nous allons maintenant voir comment une modification de la pente d’une fonction change sa représentation graphique. En commençant par notre droite de référence 𝑦 égale 𝑥, on peut voir que lorsque l’on représente graphiquement la fonction 𝑦 égale deux 𝑥, cette droite est beaucoup plus raide. Le coefficient de 𝑥, la pente, est en effet supérieur à celui de 𝑦 égale 𝑥. Pour chaque unité sur l’axe des abscisses, la droite 𝑦 égale 𝑥 monte d’une unité sur l’axe des ordonnées. Mais pour la droite 𝑦 égale deux 𝑥, pour chaque unité sur l’axe des abscisses, la droite monte de deux unités sur l’axe des ordonnées.

Donc, si nous souhaitons représenter graphiquement la fonction 𝑦 égale trois 𝑥, pour chaque unité sur l’axe des abscisses, la droite doit augmenter de trois unités sur l’axe des ordonnées, ce qui ressemblerait à ceci. On peut remarquer que puisqu’aucune de ces expressions n’a de terme constant, les droites coupent toutes l’axe des ordonnées en zéro. C’est-à-dire que leur ordonnée à l’origine est égale à zéro. Et que se passe-t-il si nous avons une pente négative, par exemple, la fonction 𝑦 égale moins 𝑥 ? On peut voir que les droites avec une pente négative descendent de la gauche vers la droite.

Expliquons à présent comment identifier la pente d’une droite. La pente d’une droite est égale au déplacement vertical sur le déplacement horizontal, où le déplacement vertical est l’augmentation ou la diminution des valeurs de 𝑦. Et le déplacement horizontal est l’augmentation ou la diminution des valeurs de 𝑥. On peut également utiliser la formule selon laquelle la pente entre deux points 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux est égale à 𝑦 deux moins 𝑦 un sur 𝑥 deux moins 𝑥 un.

Donc, si on choisit les points un, trois et zéro, un sur notre droite, on peut choisir n’importe lequel des deux pour 𝑥 un, 𝑦 un et l’autre pour 𝑥 deux, 𝑦 deux, puis remplacer leurs valeurs dans la formule. Ici, on obtient, 𝑦 deux, qui est égal à un, moins 𝑦 un, qui est égal à trois, sur 𝑥 deux, égal à zéro, moins 𝑥 un, égal à un. Cela se simplifie par moins deux sur moins un, ce qui signifie que la pente de cette droite est égale à deux. Et si nous souhaitions utiliser le déplacement vertical sur le déplacement horizontal, nous aurions un déplacement vertical de deux et un déplacement horizontal de un, ce qui nous donnerait à nouveau deux sur un, soit deux.

Nous allons maintenant expliquer comment tracer la représentation graphique d’une fonction affine. La première méthode consiste à utiliser un tableau de valeurs. Avec cette méthode, on choisit quelques valeurs clés de 𝑥 et on calcule les images 𝑦 correspondantes. Donc si on souhaite par exemple représenter graphiquement 𝑦 égale trois 𝑥 plus un, on peut choisir les valeurs de 𝑥 : zéro, un et deux. Et on remplace ensuite ces valeurs dans l’expression de la fonction pour calculer les valeur de 𝑦. La première valeur est alors 𝑦 égale trois fois zéro plus un, ce qui donne 𝑦 égale un. Pour la deuxième valeur, 𝑥 égale à un, donc on remplace 𝑥 par un dans l’expression de la fonction et on obtient trois fois un plus un, soit quatre. Et pour la dernière valeur 𝑥 égale deux, 𝑦 est égal à trois fois deux plus un, ce qui donne six plus un et qui est égal à sept.

Nous avons ainsi trouvé trois points appartenant à cette droite : zéro, un ; un, quatre ; et deux, sept. Nous devons donc tracer un repère, représenter ces trois points, puis tracer la droite passant par ces points. L’avantage d’un tableau de valeurs est qu’il nous donne des points appartenant à la droite même si nous ne savons pas exactement à quoi elle ressemble avant de commencer à la tracer ; expliquons à présent la deuxième méthode permettant de représenter graphiquement une fonction affine. Elle consiste à identifier les caractéristiques de la fonction quand elle est sous la forme 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑏.

Par exemple, si on souhaite tracer la représentation graphique de 𝑦 égale trois 𝑥 plus un, on sait que sa pente doit être de trois, ce qui signifie que, pour chaque unité sur l’axe des abscisses, elle augmente de trois sur l’axe des ordonnées. Et puisque l’ordonnée à l’origine est un, elle coupe l’axe des ordonnées en zéro, un. Lorsque l’on utilise cette méthode, il faut être prudent et se rappeler qu’une pente positive signifie que la droite monte de gauche à droite. Et qu’une pente négative signifie que la droite descend de gauche à droite.

Nous allons maintenant mettre en pratique ce que nous avons appris en étudiant quelques exemples. Pour le premier exemple, nous allons voir de plus près comment remplir un tableau de valeurs.

Soit la fonction 𝑓 de 𝑥 égale huit 𝑥 moins 11. Remplissez le tableau de valeurs ci-dessous. Identifiez les trois points qui se situent sur la droite 𝑦 égale huit 𝑥 moins 11.

Nous avons donc ici une fonction 𝑓 de 𝑥 égale huit 𝑥 moins 11. Et nous devons trouver les trois valeurs de 𝑦 inconnues en calculant 𝑓 de 𝑥 pour les valeurs de 𝑥 correspondantes. Pour trouver la valeur de 𝑦 lorsque 𝑥 est égal à moins un, on remplace 𝑥 par moins un dans l’expression de la fonction. Cela donne huit fois moins un moins 11. Et puisque huit fois moins un égale moins huit, on a moins huit moins 11, ce qui fait moins 19. Et c’est la première valeur manquante du tableau. Pour la prochaine valeur, on remplace 𝑥 par zéro dans la fonction, ce qui donne huit fois zéro moins 11, soit zéro moins 11, ce qui est égal à moins 11. Et nous avons ainsi la deuxième valeur du tableau.

Pour la dernière valeur, lorsque 𝑥 est égal à un, on a huit fois un moins 11, ce qui est égal à huit moins 11 et qui nous donne un résultat de moins trois. Nous avons par conséquent répondu à la première partie de la question : les trois valeurs du tableau sont moins 19, moins 11 et moins trois. L’objectif du tableau de valeurs d’une fonction est de donner les coordonnées de points appartenant à la représentation graphique de la fonction. Le premier point est donc moins un, moins 19. Le deuxième est zéro, moins 11. Et le troisième est un, moins trois.

Pour trouver le point moins un, moins 19 sur le repère, on commence par l’abscisse en allant jusqu’à moins un, puis on descend parallèlement à l’axe des ordonnées jusqu’à moins 19. Et on voit alors que le point 𝐼 se trouve sur la droite. Pour le point zéro, moins 11, on ne se déplace pas le long de l’axe des abscisses et on descend jusqu’à moins 11. Ce qui nous permet d’identifier que le point 𝐻 appartient également à la représentation graphique de cette fonction. Enfin, pour le troisième point, si on se déplace sur l’axe des abscisses jusqu’à un, puis vers le bas jusqu’à moins trois, on trouve le point 𝐺. Par conséquent, les trois points appartenant à la droite sont 𝐼, 𝐻 et 𝐺. S’il nous était demandé de représenter graphiquement cette fonction, nous aurions commencé par représenter ces trois points sur le repère. Puis, nous aurions tracé une droite passant par ceux-ci.

Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment faire lorsqu’une droite n’est pas exprimée sous la forme réduite 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑐.

Soit l’équation trois 𝑦 égale six 𝑥 plus trois sur deux. Reformulez l’équation sous la forme 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑐. Quelles sont la pente et l’ordonnée à l’origine de la droite ? Utilisez la pente et l’ordonnée à l’origine pour identifier la représentation graphique de cette équation parmi les droites ci-dessous.

Commençons par répondre à la première question de l’énoncé. Nous devons manipuler l’équation pour l’exprimer sous la forme 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑐. Rappelons que cette forme, 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑐, ou 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑏, est la forme réduite qui permet d’identifier les caractéristiques clés de la droite. On constate que notre équation comporte bien un 𝑦 et un 𝑥, comme la forme réduite. La différence est que l’on a ici trois 𝑦 au lieu de seulement 𝑦. On doit donc diviser les deux membres de l’équation par trois.

Cela signifie que, sur le membre droit, on va diviser par deux fois trois. Et comme deux fois trois égale six, on obtient 𝑦 égale six 𝑥 plus trois sur six. Afin de simplifier cette fraction, on peut considérer le membre droit comme six 𝑥 sur six plus trois sur six. Et cela est équivalent à 𝑦 égale 𝑥 plus un sur deux. Nous avons ainsi manipulé l’équation sous la forme 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑐. Pour la deuxième question, on rappelle que pour 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑐, le coefficient de 𝑥, la lettre 𝑚, indique la pente de la droite. Et le terme constant 𝑐 représente son ordonnée à l’origine.

Pour notre équation sous cette forme, c’est-à-dire 𝑦 égale 𝑥 plus un sur deux, la pente est donc égale au coefficient de 𝑥, soit un. Et son ordonnée à l’origine est plus un sur deux, ou simplement un sur deux. Nous avons ainsi répondu à la deuxième question. Nous pouvons maintenant étudier les graphiques donnés pour la troisième question. Nous avons établi que l’ordonnée à l’origine de notre droite est de un sur deux. On peut voir sur le premier graphique que l’ordonnée à l’origine est bien un sur deux puisque le droite coupe l’axe des ordonnées en un sur deux. Donc, cela peut être une réponse possible.

Sur le deuxième graphique, la droite coupe l’axe des ordonnées en moins un sur deux. Nous pouvons donc exclure cette réponse. La troisième droite a une ordonnée à l’origine de un, donc cela ne correspond pas non plus. Et la quatrième a une ordonnée à l’origine de moins un. Enfin, la dernière droite a une ordonnée à l’origine de moins un sur deux. Donc, cela ne fonctionnerait pas non plus. Cela signifie qu’il ne reste qu’une seule réponse, mais vérifions tout de même si sa pente est bien égale à un.

Pour trouver la pente d’une droite entre deux points 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux, on calcule 𝑦 deux moins 𝑦 un sur 𝑥 deux moins 𝑥 un. On peut donc choisir deux points quelconques sur la droite. On a ici zéro, un sur deux et un, trois sur deux. Peu importe quel point on choisit pour 𝑥 un, 𝑦 un et pour 𝑥 deux, 𝑦 deux. En calculant la pente, on a donc trois sur deux moins un sur deux, le tout sur un moins zéro. Et puisque trois sur deux moins un sur deux égale un et que un moins zéro égale un, on trouve un sur un, ce qui signifie que la pente est bien égale à un. Nous pouvons donc conclure que c’est la première droite qui représente l’équation trois 𝑦 égale six 𝑥 plus trois sur deux.

En complétant un tableau de valeurs, déterminez laquelle des droites ci-dessous représente l’équation 𝑦 égale un demi de 𝑥 plus un.

Cette question nous demande de compléter un tableau de valeurs. Et cela peut être un outil très utile pour nous aider à dessiner les représentations graphiques de fonctions. Créer un tableau de valeurs de 𝑥 et 𝑦 nous donne en effet les coordonnées de points qui se situent sur la représentation graphique de la fonction. Alors, quelles valeurs 𝑥 allons-nous choisir ? Eh bien, on peut voir que toutes les droites proposées sont tracées entre 𝑥 égale moins quatre à 𝑥 égale quatre. Choisir quelques valeurs dans cet intervalle serait donc une option judicieuse.

Afin de trouver les valeurs de 𝑦, on remplace chaque valeur de 𝑥 dans l’équation 𝑦 égale un demi de 𝑥 plus un. Donc, lorsque 𝑥 égale moins deux, on a 𝑦 égale un sur deux fois moins deux plus un. Et un sur deux fois moins deux égale moins un. On a donc 𝑦 égale moins un plus un, ce qui fait zéro. Par conséquent lorsque 𝑥 est égal à moins deux, 𝑦 est égal à zéro. Lorsque 𝑥 est égal à moins un, on obtient 𝑦 égale un sur deux fois moins un plus un. Et moins un sur deux plus un égale un sur deux. Nous avons donc trouvé une autre paire de valeurs du tableau.

Et on complète le reste du tableau de la même manière. Maintenant que le tableau de valeurs est complet, nous pouvons identifier des points appartenant à la droite recherchée. En prenant pour premier point moins deux, zéro, on peut voir que seules les droites C et E passent par ce point. Et pour le deuxième point moins un, un demi, on peut voir que la droite C passe par le point un, moins un demi, ce qui signifie que nous pouvons exclure la réponse C. On peut alors vérifier que la droite E passe bien par le point moins un, un demi. Elle passe également par les points zéro, un ; un, trois sur deux ; et deux, deux. Par conséquent, la représentation graphique E correspond à l’équation 𝑦 égale un demi de 𝑥 plus un.

Dans cet exemple, nous avons vu comment utiliser un tableau de valeurs pour reconnaître la représentation graphique d’une fonction. Dans l’exemple suivant, nous allons utiliser les caractéristiques de l’équation pour reconnaître la représentation graphique.

Laquelle des fonctions suivantes est représentée ci-dessous ? A : 𝑦 égale trois sur deux 𝑥 plus deux. B : 𝑦 égale deux 𝑥 plus deux sur trois. C : 𝑦 égale deux sur trois 𝑥 moins deux. D : 𝑥 égale deux sur trois 𝑦 plus deux. Ou E : 𝑦 égale deux sur trois 𝑥 plus deux.

Rappelons que la forme réduite d’une équation linéaire est 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑏 ou 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑐, où le terme constant 𝑏 ou 𝑐 représente l’ordonnée à l’origine de la droite. La valeur de 𝑚 indique quant à elle la pente de la droite. Par conséquent, si nous calculons la pente et l’ordonnée à l’origine de la représentation graphique de cette fonction, nous pourrons en déduire son équation. On rappelle qu’entre deux point 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux, la pente est égale à 𝑦 deux moins 𝑦 un sur 𝑥 deux moins 𝑥 un.

On peut choisir deux point quelconques sur la droite pour 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux. Mais les plus faciles sont souvent ceux qui ont des valeurs entières. On peut voir ici que zéro, deux et trois, quatre se trouvent tous les deux sur la droite. Peu importe quel point on choisit pour 𝑥 un, 𝑦 un et pour 𝑥 deux, 𝑦 deux. Pour calculer la pente, on remplace 𝑦 deux et 𝑦 un par leurs valeurs, ce qui donne quatre moins deux, le tout sur 𝑥 deux moins 𝑥 un, soit trois moins zéro. Et en simplifiant cette fraction, on obtient une pente de deux sur trois.

Pour trouver l’ordonnée à l’origine, on observe la représentation graphique pour voir où elle coupe l’axe des ordonnées. Et cela se produit lorsque l’ordonnée est égale à deux. Nous pouvons alors remplacer les valeurs de la pente et de l’ordonnée à l’origine dans l’équation réduite. Nous avons trouvé que la pente 𝑚 est égale à deux sur trois et que l’ordonnée à l’origine 𝑏 est égale à deux. Nous pouvons donc conclure que la bonne réponse est E : la droite a pour équation 𝑦 égale deux sur trois 𝑥 plus deux.

Nous allons à présent résumer ce que nous avons appris dans cette vidéo. Nous avons appris qu’une fonction affine peut être exprimée par 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑏 ou 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑐. La valeur de 𝑚 représente la pente de la droite. Et la constante 𝑏 ou 𝑐 représente l’ordonnée à l’origine de la droite. La pente d’une droite est égale au déplacement vertical sur le déplacement horizontal. Elle peut également être calculée par 𝑦 deux moins 𝑦 un sur 𝑥 deux moins 𝑥 un pour des points 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux appartenant à la droite. Nous avons également vu que l’on peut représenter graphiquement une fonction en créant un tableau de valeurs et en représentant les points ou en étudiant son équation pour trouver les valeurs de la pente et de l’ordonnée à l’origine. Cette deuxième méthode est un peu plus compliquée, mais elle devient de plus en plus facile avec un peu de pratique.

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