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Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment interpréter une matrice augmentée et comment représenter un système d’équations linéaires comme une matrice augmentée. L’un des plus anciens problèmes généraux en mathématiques est de pouvoir résoudre un système d’équations linéaires à plusieurs variables. L’exemple le plus simple et le plus trivial serait un système de deux équations linéaires à deux variables. On peut l’illustrer comme suit.
Considérons les deux équations 𝑥 plus trois 𝑦 égale un et deux 𝑥 moins 𝑦 égale trois. Dans ce cas, 𝑥 et 𝑦 sont les variables à déterminer, les nombres les multipliant étant appelés les coefficients. Dans ce cas, le coefficient du terme 𝑥 dans la première équation est un, et le coefficient du terme 𝑦 est trois. Pour la deuxième équation, le coefficient du terme 𝑥 est deux, et le coefficient du terme 𝑦 est moins un. On peut aussi appeler ce système, à deux équations et à deux variables, équations simultanées.
Les méthodes que nous avons vues pour résoudre ces équations simultanées deviennent plus compliquées lorsqu’on a un système avec plus d’équations et plus de variables. Par exemple, considérons le système de trois équations linéaires à trois variables suivant. On a besoin de beaucoup plus d’étapes pour résoudre ce système que le premier exemple. Afin d’essayer d’éviter les erreurs, on utilise une méthode beaucoup plus soignée. Elle s’appelle le pivot de Gauss ou l’élimination de Gauss – Jordan. Cette méthode vise à supprimer tous les détails étrangers en plaçant d’abord les coefficients d’un système d’équations linéaires dans une matrice, où chaque élément de cette matrice correspond exactement à un coefficient.
Considérons le système d’équations linéaires cinq 𝑥 plus deux 𝑦 égale deux et trois 𝑥 moins trois 𝑦 égale six. Nous notons que les termes 𝑥 et leurs coefficients sont directement les uns au-dessous des autres. Et il en va de même pour les termes 𝑦. Étant donné que tel est le cas, on peut écrire les coefficients dans une matrice deux deux comme indiqué, où la colonne de gauche contient les coefficients des termes 𝑥 et la colonne de droite les coefficients des termes 𝑦. Cela fonctionne parce que lorsqu’on multiplie cette matrice deux deux par la matrice colonne avec les éléments 𝑥 et 𝑦, respectivement, le résultat est une matrice colonne avec les éléments cinq 𝑥 plus deux 𝑦 et trois 𝑥 moins trois 𝑦 comme dans les équations d’origine.
Supposons maintenant qu’on souhaite inclure toutes les informations à propos du système d’équations. Les termes à droite de nos équations sont également alignés. Et on peut représenter cela dans la matrice comme indiqué, où la barre verticale représente le signe égal. Cette approche pour résoudre des équations devient plus utile lorsque le nombre d’équations ou le nombre de variables augmente. Considérons maintenant une définition formelle.
Les deux matrices que nous avons vues précédemment sont la matrice des coefficients et la matrice augmentée. On commence par considérer un système général d’équations linéaires avec les variables 𝑥 un, 𝑥 deux, et ainsi de suite et les coefficients 𝑎 𝑖𝑗. On peut écrire cela comme indiqué. Cela nous amène à la matrice des coefficients suivante et à la matrice augmentée indiquée. Bien que démontrer le processus complet ne fasse pas partir du cadre de cette vidéo, on peut en fait les utiliser pour résoudre des systèmes d’équations. Voyons maintenant quelques exemples spécifiques.
Trouvez la matrice augmentée du système d’équations suivant : 𝑥 plus cinq 𝑦 égale trois, et trois 𝑥 plus cinq 𝑦 égale un.
Commençons par réécrire le système d’équations en mettant en évidence les termes 𝑥 et 𝑦. On a deux équations à deux variables, et ces équations ont déjà été classées de sorte que les termes 𝑥 soient en premier suivis des termes 𝑦 puis du signe égal de chaque équation. Cela signifie que la matrice augmentée a deux lignes et trois colonnes comme indiqué. Commençons par examiner les coefficients des termes 𝑥. Pour la première équation, le coefficient du terme 𝑥 est un. Et dans la deuxième équation, le coefficient est de trois. Cela signifie que la colonne de gauche de la matrice contient les nombres un et trois. On inscrit les coefficients de 𝑦 dans la colonne suivante, dans ce cas cinq et cinq. Enfin, les valeurs à droite de nos équations, trois et un, complètent la matrice. Lorsqu’on lit ligne par ligne, la matrice augmentée est un cinq, trois, trois, cinq, un. Cela correspond au système d’équations 𝑥 plus cinq 𝑦 égale trois et trois 𝑥 plus cinq 𝑦 égale un.
Dans cet exemple, le système d’équations est écrit sous une forme pratique, le premier terme de chaque équation étant le terme 𝑥 suivi du terme 𝑦, et le signe égal directement après. Étant donné que c’était déjà le cas, écrire la matrice augmentée du système était un exercice assez simple. C’est pareil si on nous donne la matrice augmentée et qu’on nous demande d’écrire le système d’équations linéaires correspondant.
Considérons maintenant un exemple de ce type.
Trouvez le système d’équations qui correspond à la matrice augmentée suivante : sept, deux, moins sept, moins cinq, quatre, six.
On commence par supposer que les variables de ce système sont 𝑥 et 𝑦, 𝑥 correspondant à la première colonne et 𝑦 correspondant à la deuxième colonne. Si tel est le cas, ce système d’équations linéaires prendra la forme indiquée, où les valeurs manquantes seront renseignées à l’aide de la matrice augmentée. La première colonne de la matrice augmentée contient les coefficients sept et moins cinq. Et il s’agit des coefficients des termes 𝑥 dans le système d’équations. La colonne du milieu de la matrice augmentée contient les valeurs deux et quatre, qui sont les coefficients des termes 𝑦. Enfin, on utilise la troisième colonne de la matrice augmentée pour remplir les espaces restants du système. On a respectivement moins sept et six.
La matrice augmentée sept, deux, moins sept, moins cinq, quatre, six correspond au système d’équations sept 𝑥 plus deux 𝑦 égale moins sept et moins cinq 𝑥 plus quatre 𝑦 égale six. Il est important de noter ici que puisque l’exemple ne précise pas que nous devons utiliser les variables 𝑥 et 𝑦, nous aurions aussi bien pu utiliser d’autres variables, par exemple, 𝑎 et 𝑏. Nos équations auraient alors été sept 𝑎 plus deux 𝑏 égale moins sept et moins cinq 𝑎 plus quatre 𝑏 égale six.
Dans nos deux premiers exemples, nous avons uniquement travaillé avec des matrices augmentées où toutes les entrées sont non nulles. Nous avons également vu les équations écrites d’une manière particulièrement utile. Nous allons maintenant considérer un exemple un peu différent.
Trouvez la matrice augmentée du système d’équations suivant : huit 𝑥 moins trois 𝑧 moins sept égale zéro, six 𝑦 plus trois 𝑥 égale zéro et sept 𝑧 moins six 𝑦 plus huit égale zéro.
Lorsqu’on examine ce système d’équations, on constate qu’il n’est pas écrit dans le format le plus utile. Afin de minimiser les chances de commettre une erreur lorsqu’on crée la matrice augmentée, on commence par réécrire le système d’équations linéaires. Nous allons le faire en alignant les termes 𝑥, 𝑦, 𝑧 et constants les uns au-dessous des autres. Si on ajoute sept aux deux côtés de la première équation, on a huit 𝑥 moins trois 𝑧 égale sept. Et comme il n’y a pas de terme 𝑦, on laisse un espace ici. La deuxième équation n’a pas de terme 𝑧. Et on peut la réécrire comme trois 𝑥 plus six 𝑦 égale zéro. Si on soustrait huit des deux côtés de la troisième équation, et on réorganise le côté gauche on a moins six 𝑦 plus sept 𝑧 est égale moins huit. Nous remarquons que dans cette équation, il n’y a pas de terme 𝑥.
Après avoir réécrit nos équations, on voit que le système a trois équations à trois variables. Et par conséquent, la matrice augmentée est de dimension trois sur quatre. La première colonne de la matrice augmentée contient les coefficients de 𝑥. On a huit, trois et zéro. La deuxième colonne contient les coefficients de 𝑦 : zéro, six et moins six. Ensuite, on a les coefficients de 𝑧 : moins trois, zéro et sept. Et enfin, on écrit les constantes sur le côté droit de nos équations : sept, zéro et moins huit. La matrice augmentée du système d’équations huit 𝑥 moins trois 𝑧 moins sept égale zéro, six 𝑦 plus trois 𝑥 égale zéro, et sept 𝑧 moins six 𝑦 plus huit égale zéro est huit, zéro, moins trois, sept, trois, six, zéro, zéro, zéro, moins six, sept, moins huit.
Dans le dernier exemple, nous allons examiner l’inverse de ce processus, où une fois de plus, on nous donne une matrice augmentée et nous devons trouver le système d’équations.
À partir de la matrice augmentée deux, zéro, moins neuf, cinq, zéro, quatre, moins neuf, cinq, moins quatre, moins neuf, zéro, zéro, trouvez le système d’équations.
Commençons par supposer que les variables correspondant aux première, deuxième et troisième colonnes sont respectivement 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Cela signifie que nous devons inscrire les éléments manquants du système de trois équations à trois inconnus suivant. La première colonne de notre matrice augmentée correspond aux coefficients de 𝑥. On a deux, zéro et moins quatre. La deuxième colonne correspond aux coefficients de 𝑦 : zéro, quatre et moins neuf. La troisième colonne, moins neuf, moins neuf et zéro sont les coefficients de 𝑧. Enfin, les éléments de la colonne de droite de notre matrice correspondent aux éléments de droite de nos équations. On a cinq, cinq et zéro.
On peut simplifier ces équations en ignorant tout terme qui a un coefficient de zéro. Puisqu’ajouter moins neuf revient à soustraire neuf. On peut réécrire la première équation comme deux 𝑥 moins neuf 𝑧 égale cinq. De même, la deuxième équation devient quatre 𝑦 moins neuf 𝑧 égale cinq et la troisième équation devient moins quatre 𝑥 moins neuf 𝑦 égale zéro. La matrice augmentée deux, zéro, moins neuf, cinq, zéro, quatre, moins neuf, cinq, moins quatre, moins neuf, zéro, zéro correspond au système d’équations deux 𝑥 moins neuf 𝑧 égale cinq, quatre 𝑦 moins neuf 𝑧 égale cinq, et moins quatre 𝑥 moins neuf 𝑦 égale zéro.
Nous avons vu dans cette vidéo que c’est généralement facile de basculer entre un système d’équations linéaires et la matrice augmentée correspondante. Une fois qu’un système d’équations linéaires est représentée avec la bonne matrice augmentée, on peut ensuite penser à résoudre le système d’équations en manipulant la matrice augmentée en utilisant les opérations sur lignes dans le cadre de l’élimination de Gauss – Jordan. Cependant, comme nous l’avons mentionné précédemment, cela sort du cadre de cette vidéo. Résumons maintenant les points clés.
Nous avons vu dans cette vidéo qu’on peut écrire un système général d’équations linéaires en termes de sa matrice augmentée ou vice versa. Nous avons vu que pour un système d’équations linéaires avec 𝑚 équations et 𝑛 variables, la matrice des coefficients a 𝑚 lignes et 𝑛 colonnes et, par conséquent, est de dimension 𝑚 sur 𝑛. La matrice augmentée d’un tel système a 𝑚 lignes et 𝑛 plus une colonnes, ce qui implique qu’elle est de dimension 𝑚 sur 𝑛 plus un.
Lorsqu’on écrit un système d’équations linéaires sous forme de matrice augmentée, il est essentiel que les variables soient dans le même ordre pour chaque équation avant de remplir la matrice augmentée avec les coefficients de ce système. Une façon d’aider dans ce processus consiste à colorer les variables. S’il y a une quantité qui n’est ni une variable ni le coefficient d’une variable, elle doit être sur le côté droit de l’équation avant de créer la matrice augmentée. Enfin, s’il manque une variable dans l’une des équations, alors le coefficient de cette variable est zéro et la matrice augmentée devrait avoir une valeur de zéro à la place de l’élément correspondant.
