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Vidéo question :: Simplifier un quotient de deux expressions de fonctions rationnelles Mathématiques • Deuxième année secondaire

Sachant que 𝑛₁ (𝑥) = 𝑥 + (16 / (𝑥 - 8)), 𝑛₂ (𝑥) = 9𝑥 + (144 / (𝑥 - 8)) et 𝑛 (𝑥) = 𝑛₁ (𝑥) ÷ 𝑛₂ (𝑥 ), déterminez 𝑛 (𝑥) sous sa forme la plus simple.

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Transcription de la vidéo

Étant donné que 𝑛 un de 𝑥 est égal à 𝑥 plus 16 sur huit moins 𝑥, 𝑛 deux de 𝑥 est égal à neuf 𝑥 plus 144 sur huit moins 𝑥, et 𝑛 de 𝑥 est égal à 𝑛 un de 𝑥 divisé par 𝑛 deux de 𝑥, déterminez 𝑛 de 𝑥 sous sa forme la plus simple.

Nous allons travailler sur l’expression 𝑛 de 𝑥, qui est le quotient de 𝑛 un de 𝑥 et de 𝑛 deux de 𝑥. Divisons donc 𝑥 plus 16 sur 𝑥 moins huit - rappelez-vous que c’est 𝑛 un - par 𝑛 deux, qui a pour expression 𝑥 plus 144 sur 𝑥 moins huit. Avant de faire cela, nous allons devoir simplifier les expressions dans chacune de ces parenthèses. En écrivant un comme dénominateur à 𝑥 et à neuf 𝑥, nous voyons que nous pouvons ajouter les fractions dans chacune des expressions. Nous allons trouver un dénominateur commun dans cette première expression en multipliant le premier terme par 𝑥 moins huit sur 𝑥 moins huit. Cela nous donne 𝑥 facteur de 𝑥 moins huit sur 𝑥 moins huit plus 16 sur 𝑥 moins huit. Nous multiplierons neuf 𝑥 sur un par 𝑥 moins huit sur 𝑥 moins huit aussi. Cela nous donne neuf 𝑥 facteur de 𝑥 moins huit sur 𝑥 moins huit plus 144 sur 𝑥 moins huit.

Et puis, nous ajoutons les numérateurs. Notre première expression devient 𝑥 facteur de 𝑥 moins huit plus 16 le tout sur 𝑥 moins huit. Et notre deuxième expression devient neuf 𝑥 facteur de 𝑥 moins huit plus 144 sur 𝑥 moins huit. Ensuite, nous rappelons que pour diviser par une fraction, nous multiplions par l’inverse de cette même fraction. Dans ce cas, nous multiplions par 𝑥 moins huit sur neuf 𝑥 facteur de 𝑥 moins huit plus 144. Et puis si nous regardons attentivement, nous voyons que nous pouvons simplifier. Nous pouvons diviser par 𝑥 moins huit. Nous multiplions ensuite le numérateur de la première fraction par le numérateur de la seconde et répétons ce processus pour le dénominateur. Nous obtenons donc 𝑥 facteur de 𝑥 moins huit plus 16 facteur de un, ce qui est juste notre expression initiale, sur neuf 𝑥 facteur de 𝑥 moins huit plus 144.

Ensuite, nous développons nos parenthèses. Nous multiplions 𝑥 par 𝑥 et 𝑥 par moins huit. Et nous obtenons 𝑥 au carré moins huit 𝑥. De même, nous multiplions neuf 𝑥 par 𝑥 et neuf 𝑥 par moins huit. Nous nous retrouvons donc avec 𝑥 au carré moins huit 𝑥 plus 16 sur neuf 𝑥 au carré moins 72𝑥 plus 144. Et en fait, il semblerait que nous ayons terminé. Mais nous devons trouver 𝑛 de 𝑥 dans sa forme la plus simple. Donc, ici, nous remarquons que nous avons un facteur commun dans le dénominateur. Ce facteur commun est neuf. Et si nous factorisons par neuf au dénominateur, nous obtenons neuf facteur de 𝑥 au carré moins huit 𝑥 plus 16. Maintenant, remarquez que nous avons un facteur commun. Nous pouvons simplifier le numérateur et le dénominateur par 𝑥 au carré moins huit 𝑥 plus 16. Et donc, il nous reste un neuvième.

𝑛 de 𝑥 est égal à un neuvième.

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