Vidéo : Prouver que 1 = 2 en utilisant l’algèbre élémentaire

Dans cette vidéo, nous allons représenter une preuve apparente que 1 = 2, puis l’examiner ligne par ligne pour découvrir une erreur logique dans le calcul.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons utiliser l’algèbre élémentaire pour prouver que un égale deux. Bon, peut-être.

Tout d’abord, définissons deux variables, 𝑝 et 𝑞. Et on va dire que la valeur de 𝑝 égale la valeur de 𝑞. Cela nous donne l’équation 𝑝 égale 𝑞. Maintenant prenons cette équation et multiplions les deux membres par 𝑝. Donc 𝑝 fois 𝑝 égale 𝑝 fois 𝑞, ou tout simplement 𝑝𝑝 égale 𝑝𝑞. Mais attention ! 𝑝𝑝 c’est 𝑝 fois 𝑝 ou 𝑝 au carré, alors en peut dire que 𝑝 au carré égale 𝑝 fois 𝑞 ou 𝑝𝑞.

Maintenant soustrayons 𝑞 au carré aux deux membres de cette équation. Puisque nous avons fait la même opération aux deux membres de cette équation, alors elle reste toujours une équation. Et 𝑝 au carré moins 𝑞 au carré égale 𝑝𝑞 moins 𝑞 au carré. Lorsque nous avons quelque chose au carré moins une autre chose au carré, nous appelons cela la différence de deux carrés. Et nous pouvons factoriser cette expression comme ça : 𝑝 au carré moins 𝑞 au carré égale 𝑝 moins 𝑞 fois 𝑝 plus 𝑞.

Vérifions donc cela : plus 𝑝 fois plus 𝑝 égale plus 𝑝 au carré ; plus 𝑝 fois plus 𝑞 égale plus 𝑝𝑞 ; mois 𝑞 fois plus 𝑝 égale moins 𝑞𝑝 ; et moins 𝑞 fois plus 𝑞 égale moins 𝑞 au carré. Maintenant 𝑝𝑞 veut dire 𝑝 fois 𝑞, et 𝑞𝑝 veut dire 𝑞 fois 𝑝. Mais puisque la multiplication est commutative, alors peu importe l’ordre avec lequel on multiplie les termes. Donc 𝑝 fois 𝑞 donne le même résultat que 𝑞 fois 𝑝, et cela veut dire que je peux réécrire 𝑞𝑝 comme 𝑝𝑞.

Ainsi notre expression est maintenant 𝑝 au carré plus 𝑝𝑞 moins 𝑝𝑞 moins 𝑞 au carré. Et 𝑝𝑞 retiré de 𝑝𝑞 ne donne rien. Et en multipliant 𝑝 moins 𝑞 fois 𝑝 plus 𝑞, j’ai prouvé que ces deux variables sont en effet égales. Et cela veut dire que je peux écrire le membre gauche de mon équation ainsi. J’ai donc maintenant 𝑝 moins 𝑞 fois 𝑝 plus 𝑞 égale 𝑝𝑞 moins 𝑞 au carré.

J’ai donc factorisé le membre gauche de notre équation. Mais au membre droit, on peut voir que les deux termes ont un facteur commun qui est aussi 𝑞, alors je peux également factoriser ce membre. Alors nous avons maintenant 𝑝 moins 𝑞 fois 𝑝 plus 𝑞 égale 𝑞 fois 𝑝 moins 𝑞. Vous allez remarquer que nous avons 𝑝 moins 𝑞 aux deux membres de notre équation, donc si nous divisons les deux membres par 𝑝 moins 𝑞, je vais avoir 𝑝 moins 𝑞 au numérateur et au dénominateur aux deux membres et je peux les éliminer.

𝑝 moins 𝑞 divisé par 𝑝 moins 𝑞 au membre gauche est un, et de même au membre droit. Donc au membre gauche, j’ai un fois 𝑝 plus 𝑞 sur un, ce qui est simplement 𝑝 plus 𝑞. Et au membre droit, j’ai 𝑞 fois un sur un, qui est simplement 𝑞. Cela nous laisse avec 𝑝 plus 𝑞 égale 𝑞.

Rappelez-vous qu’au début nous avions dit que 𝑝 égalait 𝑞, et ce cela veut dire que je peux remplacer 𝑝 par 𝑞 dans mon équation, ce qui nous donne 𝑞 plus 𝑞 égale 𝑞. Mais 𝑞 plus 𝑞 est égal à deux 𝑞. Maintenant deux 𝑞 égale 𝑞. Je peux maintenant diviser les deux membres par 𝑞 ; et au membre gauche, 𝑞 divisé par 𝑞 est un, et au membre droit, de même, 𝑞 divisé par 𝑞 est un. Et cela nous laisse avec deux fois un sur un au membre gauche, ce qui est simplement deux, et un divisé par un au membre droit, qui donne un.

Et voilà ! Deux égale un, ou, un est vraiment égal à deux. Et bien voilà ; nous avons enfreint les maths ! Ça n’a aucun sens de poursuivre ! Bon, mettez la vidéo en pause, relisez chaque ligne et vérifiez si vous pouvez trouver une erreur dans notre logique.

Évidemment un n’est pas égal à deux. Si cela était vrai, on l’aurait entendu aux nouvelles. Alors relisons notre calcul ligne par ligne et voyons si l’on peut comprendre ce qui s’est passé. Définir deux variables 𝑝 et 𝑞 et supposer qu’elles sont égales, aucun problème. Et c’est tout à fait correct de multiplier les deux membres de notre équation par la même chose 𝑝. Et oui, 𝑝 au carré égale 𝑝 fois 𝑝, donc c’est correct.

Aussi soustraire la même chose à chaque membre de notre équation les garde égaux, donc c’est aussi correct. Nous avions vu plus tôt la factorisation de la différence de deux carrés en détail, et cela est parfaitement correct aussi. Et factoriser avec le facteur commun 𝑞 au membre droit est parfaitement correct.

Maintenant avançons de l’étape six à l’étape sept, nous avons divisé les deux membres de l’équation par 𝑝 minus 𝑞. Cela peut normalement être correct, mais nous avions dit au début que 𝑝 égalait 𝑞. Donc 𝑝 moins 𝑞 égal un nombre moins lui-même ; cela donne zéro. Donc nous avons divisé les deux membres de notre équation par zéro. C’est ça le problème. Par exemple, que donne un divisé par zéro ? Peu importe combien de fois vous ajoutez zéro à lui-même, vous n’obtiendrez jamais un.

N’importe quel nombre divisé par zéro est indéfini. Donc lorsque vous divisez des termes dans une équation, vous devez vérifier que le terme par lequel vous divisez n’égale pas zéro. Pensons à cela différemment. Dans la ligne six, nous avons 𝑝 moins 𝑞 fois 𝑝 plus 𝑞, mais 𝑝 moins 𝑞 égale zéro. Ainsi, le membre gauche veut dire zéro fois 𝑝 plus 𝑞, et 𝑝 moins 𝑞 est zéro au membre droit aussi, donc ça devient 𝑞 fois zéro.

Donc on dit que zéro fois quelque chose est égal à quelque chose fois zéro. Zéro fois quelque chose est zéro, et quelque chose fois zéro est zéro, donc on est en train de dire que zéro égale zéro. Et oui, c’est correct. Mais cela ne veut pas dire que les termes que nous multiplions par zéro sont égaux aussi. Donc en avançons de la ligne six à la ligne sept, on ne sait pas que 𝑝 plus 𝑞 égale 𝑞. On sait seulement que zéro fois 𝑝 plus 𝑞 égale zéro fois 𝑞. Et cela veut dire que toute cette histoire est incorrecte ; nous n’avons pas prouvé que un égale deux, nous avons prouvé que zéro fois un égale zéro fois deux. Hourra ! Après tout, le monde de mathématiques semble sûr.

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