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Vidéo question :: Comparer les vitesses à partir d’un graphique distance-temps Physique • Première année secondaire

Les vitesses correspondant aux droites indiquées sur le graphique distance-temps suivant changent-elles de valeur dans le même rapport pour toute paire de droites adjacentes?

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Transcription de la vidéo

Les vitesses correspondant aux droites indiquées sur le graphique distance-temps suivant changent-elles de valeur dans le même rapport pour toute paire de droites adjacentes?

Nous pouvons voir que dans cette question, on nous donne un graphique distance-temps. C’est un graphique qui trace la distance sur l’axe vertical ou l’axe des 𝑦 en fonction du temps sur l’axe horizontal ou l’axe des 𝑥. Il y a quatre droites différentes dessinées sur ce graphique, et on nous demande de comparer les vitesses correspondant à chacune de ces droites. Appelons la vitesse correspondant à la droite rouge 𝑣 indice 𝑟, la vitesse correspondant à la droite bleue 𝑣 indice 𝑏, la droite verte 𝑣 indice 𝑣 et la droite orange 𝑣 indice 𝑜. Nous devons déterminer si ces vitesses changent de valeur dans le même rapport pour toute paire de droites adjacentes sur le graphique.

Sur le graphique, nous pouvons voir que la droite rouge est adjacente à la droite bleue et que le rapport des vitesses correspondantes est 𝑣 indice 𝑟, la vitesse de la droite rouge, divisée par 𝑣 indice 𝑏, la vitesse de la droite bleue. Maintenant, la droite bleue est également adjacente à la droite verte et le rapport de ces vitesses est 𝑣 indice 𝑏 divisé par 𝑣 indice 𝑣. Enfin, nous pouvons voir que la droite verte est également adjacente à la droite orange, et ces vitesses ont un rapport de 𝑣 indice 𝑣 divisé par 𝑣 indice 𝑜. Ces trois rapports de vitesses sont les rapports pour chaque paire de droites adjacentes sur le graphique. Ainsi, lorsque la question nous demande si les vitesses changent de valeur avec le même rapport pour deux droites adjacentes, cela revient à nous demander s’il est vrai que ces trois rapports ont tous la même valeur.

Alors pour répondre à cette question, nous devons calculer chacun de ces trois rapports pour voir s’ils sont égaux ou non. Si nous constatons que tous ces rapports ont la même valeur, c’est-à-dire si cette égalité mathématique est vraie, alors nous savons que les vitesses changent de valeur avec le même rapport pour toute paire de droites adjacentes. Au contraire, si nous constatons que l’affirmation n’est pas vraie, alors nous savons que les vitesses ne changent pas de valeur avec le même rapport entre les droites adjacentes. Pour calculer chacun de ces trois rapports, commençons par trouver les valeurs des quatre vitesses individuelles.

Nous pouvons rappeler que la vitesse d’un objet est définie comme le taux de variation de la distance parcourue par cet objet avec le temps. Cela signifie que si un objet se déplace sur une distance Δ𝑑 et qu’il faut un temps Δ𝑡 pour le faire, alors la vitesse moyenne de l’objet pendant ce temps, que nous appellerons 𝑣, est égale à Δ𝑑 divisé par Δ𝑡. Nous pouvons également écrire cette fraction d’une autre manière. Si entre un temps de 𝑡 un et un temps de 𝑡 deux, l’objet se déplace d’une distance de 𝑑 un à une distance de 𝑑 deux, alors sa vitesse moyenne 𝑣 est égale à 𝑑 deux moins 𝑑 un divisé par 𝑡 deux moins 𝑡 un.

Maintenant, puisque le graphique distance-temps trace la distance sur l’axe vertical en fonction du temps sur l’axe horizontal, alors si 𝑡 un 𝑑 un et 𝑡 deux 𝑑 deux sont les coordonnées de deux points le long d’une droite sur un graphique distance-temps, cela signifie que cette expression est égale à la variation de la coordonnée verticale entre ces deux points divisée par la variation de la coordonnée horizontale entre les deux mêmes points. En d’autres termes, cette expression donne la pente d’une droite tracée sur un graphique distance-temps. On peut alors dire que la vitesse d’un objet est égale à la pente de la droite correspondante sur un graphique distance-temps.

Une droite est une courbe qui a une pente constante. La pente a la même valeur en tout point de la droite. Ainsi, sur un graphique distance-temps, une droite représente une vitesse constante. Nous pouvons voir que les quatre courbes du graphique sont des droites, et donc elles représentent toutes un mouvement à vitesse constante. Pour un mouvement à vitesse constante, la vitesse moyenne est la même que la vitesse en tout point du mouvement. Cela signifie que nous pouvons utiliser en toute sécurité cette expression pour la vitesse moyenne 𝑣 avec les coordonnées de deux points quelconques le long de chaque droite pour calculer chacune des quatre vitesses. Faisons maintenant un peu d’espace sur le tableau pour pouvoir continuer.

Nous pouvons remarquer que les quatre droites du graphique passent par l’origine. C’est une valeur de temps de zéro seconde et une valeur de distance de zéro mètre. Cela signifie que nous pouvons utiliser l’origine comme premier point sur chacune des quatre droites, ce qui nous donne 𝑡 un est égal à zéro seconde et 𝑑 un est égal à zéro mètre dans les quatre cas. Commençons par trouver la valeur de 𝑣 indice 𝑟. C’est la vitesse correspondant à la droite rouge.

Pour le deuxième point sur cette droite rouge, nous choisirons celui-ci car en ce point, la droite croise à la fois une ligne verticale et une ligne horizontale, ce qui facilitera la lecture d’une valeur de temps et de distance. En traçant le long de la droite verticale de la grille jusqu’à ce que nous arrivions à l’axe des temps, nous pouvons voir que ce point se trouve à un instant de quatre secondes. Donc, pour cette droite rouge, c’est notre valeur pour 𝑡 deux. Ensuite, en traçant à partir du point jusqu’à l’axe de distance le long de la ligne de grille horizontale, nous pouvons voir qu’à ce point l’objet a parcouru une distance de huit mètres. Cela nous donne notre valeur pour le terme 𝑑 deux.

Nous pouvons maintenant prendre ces quatre valeurs pour les grandeurs 𝑡 un, 𝑑 un, 𝑡 deux et 𝑑 deux et les remplacer dans cette équation afin de calculer la vitesse 𝑣 indice 𝑟. Nous trouvons que 𝑣 indice 𝑟 est égal à huit mètres, ce qui est notre valeur de la distance 𝑑 deux, moins zéro mètre, c’est la distance 𝑑 un, divisée par quatre secondes, qui est le temps 𝑡 deux, moins zéro seconde. C’est le temps 𝑡 un. Au numérateur, huit mètres moins zéro mètre est simplement égal à huit mètres. Et de même au dénominateur, quatre secondes moins zéro seconde donnent quatre secondes. Nous avons alors que 𝑣 indice 𝑟 est égal à huit mètres divisés par quatre secondes. Cela correspond à une vitesse de deux mètres par seconde.

Maintenant, continuons le travail et faisons la même chose pour la droite bleue. C’est-à-dire déterminer la valeur de 𝑣 indice 𝑏. Comme précédemment, nous utilisons l’origine comme premier point. Nous avons donc 𝑡 un est zéro seconde et 𝑑 un est zéro mètre. Pour le deuxième point sur la droite bleue, nous choisirons celui-ci. Nous pouvons voir que celui-là a le même temps de quatre secondes que nous avions sur la droite rouge. Donc, comme avant, nous avons 𝑡 deux est égal à quatre secondes. Ensuite, en traçant horizontalement par rapport à l’axe de distance, nous pouvons voir qu’au deuxième point de la droite bleue, la distance parcourue est égale à quatre mètres. Voilà donc notre valeur pour le terme 𝑑 deux.

Si nous prenons maintenant ces quatre valeurs et les remplaçons dans cette équation, nous obtenons cette expression pour la vitesse 𝑣 indice 𝑏. Au numérateur, nous avons quatre mètres moins zéro mètre, ce qui équivaut à quatre mètres. Et puis au dénominateur, nous avons quatre secondes moins zéro seconde, ce qui correspond simplement à quatre secondes. Alors, la vitesse 𝑣 indice 𝑏 est égale à quatre mètres divisés par quatre secondes. Et cela équivaut à un mètre par seconde.

Maintenant, passons à la droite verte et trouvons la vitesse 𝑣 indice 𝑣. Prendre l’origine comme premier point de cette droite nous donne 𝑡 un est zéro seconde et 𝑑 un est zéro mètre, comme nous l’avions fait auparavant. Ensuite, pour le deuxième point de la droite verte, choisissons celui-ci. Nous pouvons voir que, comme pour ces deux autres points, ce deuxième point sur la droite verte a une valeur de temps de quatre secondes. Encore une fois, nous avons 𝑡 deux est égal à quatre secondes.

En traçant horizontalement à partir de ce point, nous constatons que nous rencontrons l’axe des distances à une hauteur de deux mètres. Donc, cela nous donne notre valeur pour 𝑑 deux. Ensuite, en remplaçant ces quatre valeurs dans cette équation, nous obtenons cette expression pour 𝑣 indice 𝑣. Deux mètres moins zéro mètre divisé par quatre secondes moins zéro seconde équivaut à deux mètres divisés par quatre secondes. Lorsque nous calculons cela, nous constatons que 𝑣 indice 𝑣 est égal à 0,5 mètre par seconde.

Enfin, nous devons déterminer la valeur de 𝑣 indice 𝑜. C’est la vitesse correspondant à la droite orange. Puisque nous utilisons l’origine comme premier point, nous avons toujours 𝑡 un égale zéro seconde et 𝑑 un égale zéro mètre. Pour le deuxième point sur la droite orange, nous pourrions choisir celui-ci qui a la même valeur de temps de quatre secondes que pour les points sur les trois autres droites. Cependant, nous n’allons pas le faire car en ce point, la droite orange ne coupe pas une ligne du quadrillage horizontale. Au lieu de cela, nous choisirons ce point ici qui croise à la fois une ligne verticale et une ligne horizontale dans la grille, ce qui facilite la lecture des valeurs sur les axes. Nous trouvons que la valeur du temps est de huit secondes et la valeur de la distance est de deux mètres. Voilà donc nos valeurs pour les grandeurs 𝑡 deux et 𝑑 deux, respectivement.

Ensuite, en utilisant ces quatre valeurs dans cette équation, nous constatons que 𝑣 indice 𝑜 est égal à deux mètres moins zéro mètre divisé par huit secondes moins zéro seconde. Et c’est la même chose que deux mètres divisés par huit secondes. Cela correspond à une vitesse 𝑣 indice 𝑜 égale à 0,25 mètre par seconde.

Maintenant que nous avons trouvé les valeurs pour chacune des quatre vitesses correspondant aux quatre droites sur le graphique, nous sommes prêts à calculer ces trois rapports entre les vitesses des droites adjacentes. Tout d’abord, nous devons cependant libérer de l’espace sur le tableau.

Commençons par ce premier rapport 𝑣 indice 𝑟 divisé par 𝑣 indice 𝑏. En remplaçant 𝑣 indice 𝑟 par deux mètres par seconde et 𝑣 indice 𝑏 par un mètre par seconde, ce rapport devient deux mètres par seconde divisé par un mètre par seconde. Nous pouvons remarquer que les unités se simplifieront entre le numérateur et le dénominateur, ce qui nous laisse avec une valeur sans dimension. En calculant deux divisé par un, nous constatons que ce premier rapport est égal à deux.

Nous pouvons maintenant faire la même chose pour ces deux autres rapports. Lorsque nous remplaçons nos valeurs des vitesses, nous obtenons ces deux expressions. Encore une fois, dans les deux cas, les unités se simplifient entre le numérateur et le dénominateur. Donc, dans cette expression, nous avons un divisé par 0,5, et cela équivaut à deux. Ensuite, dans cette expression, nous avons 0,5 divisé par 0,25, ce qui revient à deux. Nous avons alors constaté que ces trois rapports ont la même valeur de deux. Cela signifie que l’affirmation est bien vraie. Donc, notre réponse à cette question est oui, les vitesses correspondant aux droites indiquées sur le graphique distance-temps changent de valeur avec le même rapport pour toute paire de droites adjacentes.

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