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Si 𝜔 est une racine primitive sixième de l’unité, laquelle des expressions suivantes est équivalente à 𝜔 plus 𝜔 au carré plus 𝜔 au cube? Proposition (A), 𝜔 puissance quatre plus 𝜔 puissance cinq plus 𝜔 puissance six. Proposition (B), un moins 𝜔 puissance quatre moins 𝜔 puissance cinq. Proposition (C), un. Proposition (D), moins un fois un plus 𝜔 puissance quatre plus 𝜔 puissance cinq. Ou la proposition (E), un demi fois 𝜔 au carré plus 𝜔 puissance quatre plus 𝜔 puissance six.
D’après l’énoncé, 𝜔 est une racine primitive sixième de l’unité. Et il faut utiliser ces informations pour trouver une expression égale à 𝜔 plus 𝜔 au carré plus 𝜔 au cube. Puisque 𝜔 est une racine primitive sixième de l’unité et que l’expression proposée est une somme de puissances de 𝜔, rappelons d’abord un résultat très utile sur la somme des puissances des racines de l’unité. Rappelons que, pour tout entier 𝑛 supérieur à un, si 𝑧 est une racine primitive 𝑛-ième de l’unité, alors un plus 𝑧 plus 𝑧 au carré — et on fait la somme jusqu’à 𝑧 puissance 𝑛 moins un — est égal à zéro. Utilisons cela pour trouver une expression équivalente à celle donnée par l’énoncé.
Premièrement, on nous dit que 𝜔 est une racine primitive sixième de l’unité, on va donc fixer la valeur 𝑛 à six. Puis, en utilisant 𝜔 comme racine primitive de l’unité, on obtient un plus 𝜔 plus 𝜔 au carré plus 𝜔 au cube plus 𝜔 puissance quatre plus 𝜔 puissance cinq égale zéro. Et bien sûr, c’est ce qu’on va utiliser pour trouver une expression de 𝜔 plus 𝜔 au carré plus 𝜔 au cube. On voit que ça apparaît déjà dans l’expression. On va donc réécrire l’équation pour isoler ces termes. Pour ce faire, retranchons un de chaque côté de l’équation. Retranchons 𝜔 puissance quatre de chaque côté de l’équation. Enfin, retranchons 𝜔 puissance cinq de chaque côté de l’équation.
Nous obtenons alors que 𝜔 plus 𝜔 au carré plus 𝜔 au cube est égal à moins un moins 𝜔 puissance quatre moins 𝜔 puissance cinq. Maintenant, nous pouvons encore simplifier. Remarquons que les trois termes à droite de l’équation ont en commun le facteur moins un. Nous allons donc factoriser par moins un. Cela donne moins une fois un plus 𝜔 puissance quatre plus 𝜔 puissance cinq. Et on voit que c’est exactement la même chose que la proposition (D). Donc, on pourrait s’arrêter ici. Cependant, il y a quelque chose qui mérite d’être souligné.
On peut se demander pourquoi cette identité est vraie en premier lieu. Et une façon de voir qu’elle est vraie est de l’étudier géométriquement. Nous allons la tracer sur un plan d’Argand, c’est-à-dire un plan complexe. Nous allons d’abord utiliser une autre propriété des racines de l’unité. Si 𝑧 est une racine 𝑛-ième de l’unité, alors le module de 𝑧 est égal à un. En fait, nous allons montrer directement que c’est vrai. D’abord, si 𝑧 est une racine 𝑛-ième de l’unité, alors 𝑧 puissance 𝑛 égale un. Prenons ensuite le module de chaque côté de cette équation. On obtient que le module de 𝑧 puissance 𝑛 est égal au module de un. Bien entendu, le module de un est égal à un. Et le module de 𝑧 puissance 𝑛 est égal au module de 𝑧 le tout à la puissance 𝑛.
Maintenant, il faut utiliser le fait que le module d’un nombre est toujours positif. En effet, le module d’un point représente sa distance par rapport à l’origine sur le plan d’Argand, et une distance ne peut jamais être négative. On a donc un nombre positif puissance 𝑛, égal à un. Cela signifie que le module de 𝑧 est égal à un. Réfléchissons à ce que nous avons montré. Nous avons montré que pour toute racine 𝑛-ième de l’unité, le module de ce nombre est égal à un. Et si les modules de ces racines valent un, leur distance par rapport à l’origine sur le plan d’Argand est égale à un. Autrement dit, toutes les racines 𝑛-ièmes de l’unité se trouvent sur le cercle unité centré à l’origine du plan d’Argand.
Et il va falloir utiliser une autre information. Nous savons générer toutes les racines 𝑛-ièmes de l’unité. En particulier, nous pouvons les écrire sous forme polaire. Écrivons-les sous la forme cos de deux 𝜋𝑘 sur 𝑛 plus 𝑖 fois sin de deux 𝜋𝑘 sur 𝑛, où 𝑘 est un entier compris entre zéro et 𝑛 moins un. Donc nous savons que toutes les racines de l’unité se trouvent sur le cercle unité. Et nous savons autre chose : nous connaissons tous leurs arguments. Tous leurs arguments sont de la forme deux 𝜋𝑘 sur 𝑛, où 𝑘 est un entier compris entre zéro et 𝑛 moins un. Nous pouvons ensuite les placer sur le plan. Nous utiliserons la valeur 𝑛 égale six. Lorsque 𝑛 est égal à six, les arguments sont des multiples de deux 𝜋 divisé par six, ce qui se simplifie à 𝜋 sur trois.
Donc, ici, nous obtenons six points sur le cercle unité, espacés de manière égale car tous leurs arguments diffèrent de 𝜋 sur trois. Nous obtenons un dessin comme ceci. Nous avons alors plusieurs choix pour les racines primitives de l’unité. Nous choisirons les racines primitives de l’unité pour 𝑘 égale un. Cependant, quel que soit notre choix de racine primitive de l’unité, nous obtiendrons la même réponse. Nous allons uniquement utiliser le fait que les racines primitives de l’unité peuvent servir à générer toutes les autres racines de l’unité.
Maintenant, nous allons additionner toutes ces racines de l’unité sur le plan d’Argand. En fait, nous pourrions le faire directement à partir de la formule sur les racines de l’unité, ça fonctionnerait. Mais nous pouvons également le faire géométriquement. Rappelons que pour additionner des points sur le plan d’Argand, nous pouvons utiliser des vecteurs sur le plan d’Argand. Par exemple, en additionnant ces deux vecteurs sur le plan d’Argand, nous pouvons trouver la valeur de un plus 𝜔. Cependant, il existe une astuce qui permet de simplifier ces calculs. Nous allons commencer par déplacer le vecteur allant de l’origine à 𝜔 pour qu’il aille de 𝜔 puissance cinq à un.
Ensuite, faisons quelque chose de similaire pour le vecteur allant de l’origine à un. Déplaçons-le pour qu’il aille de 𝜔 puissance quatre à 𝜔 puissance cinq. C’est une autre manière de voir un plus 𝜔. C’est équivalent au vecteur qui va de 𝜔 puissance quatre à un. Mais rappelez-vous que nous voulons trouver la somme de toutes ces valeurs. Il va donc falloir ajouter des vecteurs sur notre plan. Commençons par ajouter le vecteur allant de l’origine à 𝜔 au carré. Encore une fois, nous pouvons simplifier en déplaçant le vecteur. Nous allons le déplacer pour qu’il aille de un à 𝜔. Ensuite, nous voulons ajouter 𝜔 au cube à notre somme, il faut donc ajouter le vecteur suivant. Et une façon de le faire est de déplacer le vecteur pour qu’il aille de 𝜔 à 𝜔 au carré.
Et maintenant, nous commençons à voir ce qui se passe. Exactement de la même manière que précédemment, nous pouvons ajouter les deux dernières racines de l’unité sur le plan. Enfin, après avoir déplacé les vecteurs, nous obtenons un diagramme comme ceci. Les vecteurs forment un hexagone parfait à l’intérieur du cercle unité. En fait, nous pouvons directement montrer que c’est vrai, puisque leurs arguments diffèrent de 𝜋 sur trois et qu’ils appartiennent au cercle unité. À présent, demandons-nous ce qui se passe si on additionne toutes ces racines de l’unité. On sait qu’il suffit pour cela d’additionner leurs vecteurs. Eh bien, en commençant à un et en additionnant tous les vecteurs, nous arrivons à un. Or, si nous commençons et finissons au même point, alors les composantes horizontale et verticale de notre vecteur sont égales à zéro.
Autrement dit, comme ce vecteur est égal à zéro, la somme de toutes ces racines de l’unité est aussi égale à zéro. Ceci est une preuve géométrique que la somme de toutes ces racines de l’unité est égale à zéro. Et ce résultat nous a servi à montrer que si 𝜔 est une racine primitive sixième de l’unité, alors 𝜔 plus 𝜔 au carré plus 𝜔 au cube est égal à moins une fois un plus 𝜔 puissance quatre plus 𝜔 puissance cinq, ce qui correspond à la proposition (D).