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Vidéo question :: Détermination de l’accélération et de la réaction normale au mouvement d’un corps sur un plan horizontal lisse où une force inclinée agit sur lui Mathématiques • Troisième année secondaire

Un objet de masse 37 kg est placé sur une surface lisse horizontale. Une force d'intensité 72 N agit sur l'objet telle que sa ligne d'action forme un angle de 60° vers le bas par rapport à la verticale. Déterminez l’accélération de l’objet 𝑎 et l’intensité de la réaction normale 𝑅. Arrondissez vos réponses au centième près.

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Transcription de la vidéo

Un objet de masse de 37 kilogrammes est placé sur une surface horizontale lisse où une force de 72 newtons agit sur le corps de sorte que sa ligne d’action fait un angle de 60 degrés vers le bas par rapport à la verticale. Déterminez l’accélération de l’objet 𝑎 et l’intensité de la réaction normale 𝑅. Arrondissez vos réponses au centième près.

Commençons par tracer un diagramme de corps libre montrant toutes les informations dans cette question. Ici, nous avons un corps au repos sur une surface horizontale lisse. Alors, le fait qu’il soit lisse signifie qu’il n’existe aucune force de frottement que nous devons considérer entre le corps et la surface elle-même. Ensuite, on nous dit que le corps a une masse de 37 kilogrammes. En utilisant la deuxième loi de Newton sur le mouvement, qui dit que la force est proportionnelle à l’accélération du corps - en d’autres termes, la force est égale à la masse multipliée par l’accélération - on peut dire que la force vers le bas, le poids du corps, qui est sa masse fois l’accélération de la pesanteur, est de 37𝑔. Et nous prenons généralement 𝑔 comme 9,8 mètres par seconde carrée.

Ensuite, considérons la force externe qui agit sur le corps. La force a une intensité de 72 newtons, et elle agit sous un angle de 60 degrés vers le bas par rapport à la verticale. Nous avons modélisé la force vers le bas du poids pour qu’elle agisse verticalement vers le bas. Ainsi, l’angle entre les deux forces que nous avons actuellement est donc égal à 60 degrés. Ensuite, selon la troisième loi du mouvement de Newton, puisque le corps lui-même exerce une force vers le bas sur la surface horizontale, la surface exerce une force égale et opposée sur le corps. Nous appellerons cela 𝑅, bien qu’on l’appelle parfois 𝑛 pour la réaction normale.

Donc, nous avons toutes les forces, et nous cherchons à trouver l’accélération du corps 𝑎. Nous supposerons qu’en raison du sens dans lequel la force de 72 newtons agit, le corps accélérera vers la droite. Et nous allons définir cela comme 𝑎 mètres par seconde carrée. Ensuite, nous utiliserons à nouveau l’équation qui dit que la force globale ou la force résultante est égale à la masse multipliée par l’accélération. Alors, puisque la force de 72 newtons agit sous un angle, nous allons la décomposer en prenant la composante parallèle à la surface horizontale, en d’autres termes, qui agit dans la même direction et même sens que l’accélération. Et pour ce faire, nous utiliserons le fait que la verticale et l’horizontale se rencontrent sous un angle de 90 degrés, et 90 moins 60 est égal à 30.

Ensuite, nous pouvons modéliser cela comme un triangle rectangle. Étiquetons le côté que nous essayons de trouver 𝑥, et nous savons que l’hypoténuse est égale à 72 newtons. Et cela nous permet de relier ces deux mesures en utilisant le rapport cosinus. Cos de 𝜃 est égal au côté adjacent sur l’hypoténuse. Dans ce cas, cos de 30 est égal à 𝑥 sur 72. Et puis 𝑥 est égal à 72 fois cos 30. Alors, en fait, nous savons que cos de 30 degrés est égal à la racine trois sur deux. Donc, nous pouvons écrire ceci comme 72 fois racine de trois sur deux, soit 36 racine de trois ou 36 racine de trois newtons. Et donc, nous avons calculé la composante de notre force de 72 newtons qui agit dans la même direction et le même sens que l’accélération.

Ensuite, comme la surface est lisse, nous supposons qu’il n’y a pas d’autres forces de frottement, de sorte que la force résultante agissant sur le corps dans la direction horizontale est de 36 racine de trois newtons. En substituant cela dans la formule 𝐹 est égal à 𝑚𝑎, où la masse de l’objet est de 37 kilogrammes, nous obtenons 36 fois racine de trois égale 37𝑎. Nous pouvons ensuite diviser par 37, et nous trouvons que l’accélération est de 36 racine de trois sur 37, soit 1,685 et ainsi de suite ou 1,69 mètres par seconde carrée au centième près.

Nous avons maintenant l’accélération, mais il y a une autre partie à cette question. Il nous demande de trouver l’intensité de la réaction normale 𝑅. Pour ce faire, nous supposons que l’objet est en équilibre dans la direction verticale. Si cela est vrai, la somme des forces agissant dans cette direction sera égale à zéro. Notre force de réaction normale 𝑅 agit vers le haut, puis deux forces agissent verticalement vers le bas. Il y a la force vers le bas du poids 37𝑔, mais il y a aussi la composante de la force de 72 newtons qui agit dans cette direction. Appelons cela 𝑦.

Encore une fois, en utilisant la trigonométrie du triangle rectangle ou même le théorème de Pythagore, nous pouvons écrire une expression pour 𝑦. Nous obtenons sin de 30 est égal à 𝑦 sur 72, ce qui signifie que 𝑦 est égal à 72 sin de 30 ou 36 newtons. Et donc, nous avons les intensités des deux forces vers le bas. Nous avons 37𝑔 newtons, qui est la force vers le bas du poids, et 36 newtons, qui est la composante vers le bas de la force de 72 newtons. Si nous considérons le sens vers le haut comme positif, nous savons que la somme des forces dans cette direction est nulle. Donc, c’est 𝑅 moins 37𝑔 moins 36 est égal à zéro. Et en ajoutant 37𝑔 et 36 des deux côtés, nous obtenons 𝑅 est égal à 37𝑔 plus 36. Puisque 𝑔 est égal à 9,8 mètres par seconde carrée, cela devient 37 fois 9,8 plus 36, soit 398,6 ou 398,60 newtons. Ainsi, 𝑎 est égal à 1,69 mètre par seconde carrée et 𝑅 est égal à 398,60 newtons.

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