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Vidéo de la leçon: Présentation des suites géométriques

Définir, identifier et explorer des suites géométriques à travers une série d’exemples. Apprenez à trouver la raison entre les termes (exemples positifs, négatifs et rationnels) et utilisez-le pour produire une formule générale pour le 𝑛 ième terme de la suite.

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Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons examiner les suites géométriques et nous allons voir comment écrire une formule générale pour une suite géométrique particulière. Ensuite, nous continuerons et répondrons à quelques questions typiques. Commençons donc par la définition. Une suite de nombres est appelée une suite géométrique si chaque terme est multiplié par la même raison pour obtenir le terme suivant. Ainsi, par exemple, nous avons une suite de nombres trois, six, 12, 24, etc. Et dans ce cas, trois est notre premier terme. Et dans chaque cas, pour obtenir le nombre suivant de la suite, nous doublons simplement chaque terme. La raison est donc deux. Pour obtenir un terme, nous multiplions simplement le terme précédent par deux.

Dans un autre exemple, la suite 10, 15, 22.5, 33.75, et ainsi de suite, le premier terme de la suite est 10. Et je dois multiplier chaque terme de la suite par 1.5 pour obtenir le terme suivant. Ma raison est donc de 1.5. Un autre exemple serait la suite sept, sept dixièmes, sept centièmes, sept millièmes, etc. Maintenant, pour cette suite, mon premier terme sera de sept. Et je dois multiplier chaque trimestre par un dixième pour obtenir le prochain. Donc, ma raison est un dixième. Et un autre exemple serait la suite 32, moins 16, huit, moins quatre. Et dans ce cas, le premier terme sera 32. Et je devrais multiplier chaque terme par moins un demi pour obtenir le prochain terme. Donc, ma raison serait moins un demi. Donc, ma raison pourrait alors être positif, négatif, entier, fraction, décimal. Il y a toutes sortes de possibilités pour ce que cela pourrait être.

Maintenant, selon l’endroit où vous vivez, plusieurs styles de notation différents sont couramment utilisés pour les suites géométriques. Par exemple, certaines personnes appellent le premier terme 𝑎 ou 𝑎 un ou 𝑢 un ou 𝑡 entre parenthèses un ou 𝑡 un. Mais dans cette vidéo, je vais utiliser la convention — 𝑎 un est le premier terme. Et de la même manière, les gens expriment le 𝑛 ième terme de différentes manières. Ce pourrait être 𝑎 𝑛 ; cela peut être 𝑢 𝑛, 𝑡 𝑛 ou 𝑡 ( 𝑛 ) écrit comme ceci. Je vais utiliser celui-ci dans cette vidéo. Mais heureusement, la plupart des gens semblent utiliser 𝑟 pour représenter la raison. Encore une fois, c’est ce que je vais utiliser.

Écrivons donc les cinq premiers termes d’une suite géométrique avec le premier terme, 𝑎 un est égal à 12, et une raison, 𝑟 est égal à un tiers.

Eh bien, on nous dit que le premier terme est 12. Donc, écrivons simplement cela ; le premier terme est 12. Maintenant, la raison est un tiers ; cela signifie que je dois multiplier chaque terme par un tiers pour obtenir le prochain. Donc, pour obtenir le deuxième terme, je dois multiplier 12 par un tiers. Et un tiers de 12 est quatre. Et pour obtenir le troisième terme, je dois multiplier le deuxième terme par un tiers. C’est donc quatre fois un tiers, ce qui est quatre sur trois, quatre tiers. Et pour obtenir le quatrième terme, je vais devoir multiplier cela par un tiers. Et quatre tiers des fois un tiers est quatre neuvièmes. Mon quatrième terme est donc de quatre neuvièmes. Et puis faisons-le encore une fois. Quatre neuvièmes fois un tiers est égal à quatre vingt-septièmes. Et ce processus se poursuit pour toujours. Cette suite géométrique se poursuit autant de fois que vous le souhaitez.

En passant un peu plus sur la notation, souvenez-vous que 𝑎 un, le premier terme, est douze ; 𝑎 deux, le deuxième terme, est quatre ; 𝑎 trois, le troisième terme, est de quatre tiers ; 𝑎 quatre, le quatrième terme, est de quatre neuvièmes ; 𝑎 cinq, le cinquième terme, est de quatre vingt-septièmes ; etc. Maintenant, pour obtenir le deuxième terme, nous avons pris le premier terme et l’avons multiplié par la raison. Et pour obtenir le troisième terme, nous avons pris le deuxième terme et l’avons multiplié par la raison. Donc 𝑎 trois est 𝑎 deux fois 𝑟. Mais rappelez-vous, 𝑎 deux est 𝑎 un fois 𝑟. Je peux donc remplacer 𝑎 deux ici par 𝑎 un fois 𝑟. Donc 𝑎 deux est 𝑎 un fois 𝑟. Et puis on multiplie cela par 𝑟 pour obtenir 𝑎 trois.

Maintenant, pour obtenir 𝑎 quatre, nous avons pris 𝑎 trois et multiplié cela par la raison. N’oubliez donc pas que 𝑎 trois est 𝑎 un fois 𝑟 fois 𝑟. Nous avons donc multiplié cela par 𝑟 pour obtenir 𝑎 quatre. Et de même, nous multiplions cela par 𝑟 à nouveau pour obtenir le terme suivant. Donc 𝑎 cinq est 𝑎 un fois 𝑟 fois 𝑟 fois 𝑟 fois 𝑟. Maintenant, nous pouvons l’écrire au format puissance. Ainsi, au lieu d’écrire 𝑟 fois 𝑟 fois 𝑟 fois 𝑟, nous pouvons écrire 𝑟 à la puissance quatre. Donc, 𝑎 un n’est que douze ou 𝑎 un, 𝑎 deux est 𝑎 un fois 𝑟 à la puissance un, 𝑎 trois est 𝑎 un fois 𝑟 à la puissance deux, 𝑎 quatre est 𝑎 un fois 𝑟 à la puissance trois, et bientôt.

Je vais donc terminer cette suite en disant que 𝑎 un est juste 𝑎 un fois un. Mais au lieu d’en écrire un, je vais dire 𝑟 à la puissance zéro. Rappelez-vous que tout à la puissance zéro est un. Alors maintenant, nous avons obtenu un peu d’un modèle. Le premier terme n’est que le premier terme multiplié par 𝑟 à la puissance zéro. Le deuxième terme est le premier terme multiplié par 𝑟 à la puissance un. Le troisième terme est le premier terme multiplié par 𝑟 à la puissance deux. Le quatrième terme est le premier terme multiplié par 𝑟 à la puissance trois. Et le cinquième terme est le premier terme multiplié par 𝑟 à la puissance quatre. La puissance 𝑟 est donc inférieure de un à la position du terme dans la suite.

Donc, si je dis que 𝑛 est la position dans la suite, le 𝑛 ième terme, 𝑎 𝑛, est simplement le premier terme multiplié par 𝑟 à la puissance un de moins que 𝑛. Donc, 𝑎 𝑛 est égal à 𝑎 un fois 𝑟 à la puissance 𝑛 moins un, une de moins que 𝑛. Alors maintenant, nous avons une jolie petite formule qui nous dit le terme n’importe où dans la suite. Nous n’avons donc pas à continuer de multiplier par un tiers. Nous pouvons aller directement à ce terme dans la suite.

Voyons donc un exemple de cela.

Utilisons donc la formule générale pour trouver la valeur du septième terme dans cette suite particulière.

Eh bien, si le terme général 𝑎 𝑛 est égal à 𝑎 un fois 𝑟 à la puissance 𝑛 moins un. C’est la première fois que la raison est multipliée par la raison à la puissance 𝑛 moins un. Eh bien, notre premier terme était de 12 ; on nous a dit dans la question. Donc 𝑎 on est 12. Et notre raison était un tiers. Donc, notre formule générale pour cette suite particulière est 𝑎 au 𝑛 est égale à 12 fois un tiers de la puissance 𝑛 moins un. Donc, pour trouver le septième terme, nous mettons 𝑛 est égal à sept. Et 𝑎 sept, le septième terme, va être douze fois un tiers à la puissance sept moins un. Eh bien sept moins un est six. Le septième terme sera donc 12 fois le tiers de la puissance six. Et un tiers de la puissance six est un sur 729. Donc ça va être 12 sur un sur 729, qui est quatre sur 243. Jetons un coup d’œil à une autre question.

Notez le premier terme et la raison pour la suite géométrique suivante : 10, moins cinq, cinq sur deux, moins cinq sur quatre, etc.

Eh bien, clairement, le premier terme est égal à 10. Donc 𝑎 un est égal à 10 ; ce morceau était assez facile. Et la raison est ce que nous multiplions chaque terme pour obtenir le terme suivant. Je suis donc va étiqueter tous mes termes 𝑎 un, 𝑎 deux, 𝑎 trois et 𝑎 quatre, et ainsi de suite. Et puis je vais juste écrire une petite formule pour savoir comment passer d’un trimestre au suivant. Eh bien, si je multiplie le premier terme par la raison, 𝑟, j’obtiens le deuxième terme. Si je multiplie le deuxième terme par la raison, 𝑟, j’obtiens le troisième terme. Si je multiplie le troisième terme par la raison, 𝑟, j’obtiens le quatrième terme, et ainsi de suite et ainsi de suite. Donc, en regardant cette première équation, si je divise les deux côtés de l’équation par 𝑎 un, j’obtiens que 𝑟 est égal à 𝑎 deux sur 𝑎 un. Maintenant, si je divise les deux côtés de la deuxième équation par 𝑎 deux, j’obtiens que 𝑟 est égal à 𝑎 trois sur 𝑎 deux et de même pour la troisième équation.

Donc, pour calculer la valeur de 𝑟, je prends simplement la valeur d’un terme et je la divise par la valeur du terme précédent. Rappelez-vous maintenant que dans une suite géométrique, c’est une raison. Donc peu importe que je prenne le deuxième et le premier ou le troisième et le deuxième ou le quatrième et le troisième. Tant que je prends deux termes consécutifs, je trouverai toujours la même réponse pour 𝑟. Et bien regarder ces chiffres ici, la meilleure paire à utiliser va être 𝑎 un et 𝑎 deux. Donc 𝑟 est égal à 𝑎 deux divisé par 𝑎 un. 𝑎 deux est moins cinq et 𝑎 un est dix. Donc, la raison est moins cinq divisé par 10 et cela se simplifie en moins un demi.

Donc, pour passer de chaque trimestre au trimestre suivant, je dois multiplier par moins un demi. 10 fois moins un demi est moins cinq, moins cinq fois moins un demi est cinq sur deux, et ainsi de suite. Donc, ces deux faits ici, 𝑎 un est égal à 10 et 𝑟 est égal à moins un demi, définissent cette suite de manière unique. Lorsque nous le savons, nous pouvons générer tous les termes de la suite si nous sommes prêts à consacrer suffisamment de temps et à faire suffisamment de multiplications.

Bon, voyons quelques suites et essayons de déterminer si elles sont géométriques ou non.

Eh bien en fait, dit cette question, la suite suivante est-elle arithmétique ou géométrique ?

Maintenant, si vous vous en souvenez, une suite arithmétique est une suite dans laquelle chaque terme a une différence commune ajoutée afin de générer le terme suivant. Donc, pour répondre à cette question, nous avons juste besoin de voir ce que nous ajoutons pour passer d’un terme au suivant et voir si cela est constant et que multiplions-nous pour passer d’un terme au suivant et voir si cela est constant. Donc, avec cet ensemble particulier de nombres, si j’en ajoute un à chaque fois, je génère cette suite. Mais pour multiplier un terme pour obtenir le prochain, le raison ne cesse de changer ; ce n’est pas une raison. Donc, le fait que nous ayons une différence commune signifie qu’il s’agit d’une suite arithmétique.

Essayons celui-ci alors.

La suite suivante est-elle arithmétique ou géométrique ? 11, 33, 99, 297, etc.

Eh bien, si nous ajoutions, nous devions ajouter des nombres différents à chaque fois pour obtenir le nombre suivant dans la suite. Mais si nous multiplions chaque terme par trois, nous générons le terme suivant. Nous avons donc une raison de trois. Donc, le fait que nous ayons une raison plutôt qu’une différence commune nous indique que nous avons une suite géométrique.

Maintenant celui-ci, la suite suivante est-elle arithmétique ou géométrique ? Un, deux, quatre, sept, 11, etc. Eh bien, je dois ajouter un nombre différent à chaque fois pour générer le prochain terme. Ce n’est donc pas une suite arithmétique. Et je dois doubler le premier pour obtenir le second et doubler le second pour obtenir le troisième. Mais après cela, je ne double pas ; Je dois multiplier par des nombres différents. Il n’y a donc pas de différence commune et il n’y a pas de raison. Ce n’est donc ni arithmétique ni géométrique. Donc une suite intéressante, mais ce n’est pas arithmétique ou géométrique.

D’accord, un dernier exercice alors.

La suite suivante est-elle arithmétique ou géométrique ? 5.2, 5.2, 5.2, 5.2, etc.

Bien, qu’en pensez-vous ? Est-ce arithmétique ou géométrique ? Que dois-je ajouter pour passer d’un trimestre à l’autre ? Eh bien, ce n’est rien dans chaque cas. J’ajoute zéro. J’ai donc une différence commune de zéro. Eh bien, c’est un peu bizarre. Mais c’est une suite arithmétique. Et comment dois-je multiplier chaque terme pour obtenir le prochain ? Eh bien dans chaque cas, je multiplie juste par un. Encore une fois, c’est un peu une suite bizarre. Mais c’est une suite géométrique car nous avons obtenu une raison de un. C’est donc un exemple assez étrange, je vous l’accorde. Mais c’est à la fois arithmétique et géométrique si nous suivons ces règles strictes. La différence commune est zéro et la raison est un.

Maintenant, regardons une autre question.

Trouvez les trois termes suivants dans la suite géométrique 100, moins 10, un, moins 0.1, 0.01, etc. Nous avons donc les cinq premiers termes, 𝑎 un, 𝑎 deux, 𝑎 trois, 𝑎 quatre et 𝑎 cinq. Et la première chose que je dois faire est de déterminer quelle est la raison. De quoi ai-je besoin pour multiplier 𝑎 un pour obtenir 𝑎 deux et ainsi de suite ? Et si vous vous souvenez de la façon dont nous procédons, nous divisons un terme par son terme précédent pour savoir quel est le rapport. Et en regardant par là, je pense que les deuxième et troisième termes vont être les plus faciles à diviser. Et bien que vous obteniez la même réponse, peu importe la paire consécutive que vous avez divisée, celle-ci est facile car elle est divisée par moins 10, ce qui est moins un dixième.

La raison est donc moins un dixième. Nous devons multiplier chaque terme par moins un dixième pour obtenir le prochain terme. Donc, pour trouver les trois termes suivants, j’ai juste besoin de prendre le dernier terme que nous avions et de le multiplier par moins un dixième, puis de le multiplier par moins un dixième, et de le multiplier par moins un dixième. Le sixième terme est donc le cinquième terme multiplié par un dixième ; c’est 0.01 fois moins un dixième, ce qui est moins 0.01. Donc, multiplier par moins un dixième est le même parce que c’est diviser par moins 10. C’est donc relativement facile à faire. Donc, le sixième terme est moins un dixième, les moins deux vont être annulés pour le rendre positif. Et 0.001 divisé par 10 est 0.0001. Et en faisant de même, le huitième terme est moins 0.00001. Il nous suffit donc d’écrire clairement notre réponse.

Maintenant, nous avons parlé un peu de trouver une formule pour un terme général. Voici donc une question. Jetons donc un œil à cela.

Trouvez une formule pour le terme général de la suite géométrique trois, 15, 75, 375, 1875.

Eh bien, notre premier terme est trois. Donc, ce bout est facile et je dois déterminer quel est la raison. Et rappelez-vous, nous allons juste faire une division d’un terme divisé par son précédent terme. Et les nombres les plus faciles à travailler ici, je pense, vont être ces deux, 𝑎 un est trois et 𝑎 deux est 15. Donc, la raison est 𝑎 deux divisé par 𝑎 un qui est 15 sur trois qui est cinq. Rappelez-vous maintenant, on nous a dit dans la question qu’il s’agit d’une suite géométrique. Peu importait donc la paire de termes — termes consécutifs — que nous avions choisis ; nous aurions obtenu la même réponse 𝑟 est égal à cinq. Mais juste en choisissant ces deux premiers termes, les chiffres étaient plus simples.

Nous savons donc que 𝑎 un, le premier terme, est trois et la raison est cinq. Nous pouvons donc inclure cela dans notre formule. Et rappelez-vous, de travailler la valeur d’un terme particulier dans la suite, ce que nous faisons est que nous prenons le premier terme et nous allons continuer à multiplier par la raison. Maintenant, ce que nous devons faire si nous recherchons le cinquième terme, nous n’avons eu qu’à multiplier ce premier terme par la raison quatre fois pour l’obtenir. Donc, quel que soit le terme que nous recherchons, c’est la raison à la puissance ce terme moins un. Et nous venons de comprendre que 𝑎 un était trois et 𝑟 est cinq. Donc, pour déterminer la valeur du terme 𝑛 dans cette suite particulière, ça va être trois fois cinq à la puissance tout terme qui est moins un, 𝑛 moins un.

Alors, allons un peu plus loin maintenant.

Et nous devons trouver une formule pour le terme général de la suite géométrique moins 512, 128, moins 32, huit, moins deux, etc. Et nous devons utiliser cette formule pour trouver la valeur du douzième terme de la suite.

Ou nous pouvons simplement lire le premier terme il, moins 512. Et maintenant, nous avons obtenu le résultat sur la raison. Il s’agit donc de n’importe quelle paire de termes consécutifs, l’un divisé par l’autre, le second divisé par le premier. Je vais donc choisir 𝑎 quatre et 𝑎 cinq dans ce cas car ils ressemblent aux nombres les plus faciles à utiliser. Donc 𝑎 cinq est moins deux et 𝑎 quatre est huit. Donc, la raison va être moins deux sur huit, ce qui est moins un quart. Alors maintenant, j’ai ces deux informations importantes. Il est assez facile d’élaborer la formule générale. Donc, se souvenir de 𝑎 𝑛 est égal à 𝑎 un fois 𝑟 à 𝑛 moins un, substituons les valeurs 𝑛 à 𝑎, 𝑎 un et 𝑟.

Donc ma formule générale est 𝑎 𝑛, le 𝑛 ième terme est égal à moins 512 fois moins un quart à la puissance 𝑛 moins un. J’essaie donc de trouver maintenant le douzième terme. Donc, 𝑛 est égal à 12, ce qui signifie que le douzième terme, 𝑎 12, est égal à 512 fois moins un quart à la puissance 12 moins un. Eh bien, 12 moins un est onze. Et quand je calcule tout cela, j’ai 𝑎 12 est égal à un sur 8192.

Donc, nous allons rapidement résumer ce que nous avons examiné là-bas. La suite géométrique est l’endroit où vous multipliez chaque terme par une raison pour obtenir le terme suivant. Par exemple, trois, six, 12, 24. Je double chaque terme pour sortir du prochain. Et dans ce cas, la raison est de deux et le premier terme était de trois. Pour calculer la raison, que nous avons appelé 𝑟, il suffit de prendre un terme et de le diviser par le terme précédent. En général, le 𝑛 ième terme est simplement le premier terme multiplié par 𝑟 et moins un. Donc, dans le cas de notre exemple, notre 𝑛 ième terme sera trois fois deux à la puissance 𝑛 moins un.

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