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Vidéo de question : Étude du mouvement d’un corps sur un plan horizontal relié à un corps suspendu verticalement par une corde passant autour d’une poulie Mathématiques

Une masse 𝑚₁ est posée sur une table lisse horizontale. Elle est liée par une corde légère inextensible passant sur une poulie lisse fixée au bord de la table à une autre masse 𝑚₂ qui pend librement verticalement en dessous de la poulie. Une masse de 6,69 kg est ajoutée à 𝑚₁. Lorsque ce système est relâché du repos, il accélère avec 7/20 𝑔. Une autre masse de 6,75 kg est ajoutée à 𝑚₁. Comme résultat, l'accélération du système diminue à 13/50 𝑔. Déterminez 𝑚₁ et 𝑚₂. Prenez 𝑔 = 9,8 m/s².

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Transcription de vidéo

Une masse 𝑚 un repose sur une table horizontale lisse. Elle est reliée par une corde inextensible légère passant autour d’une poulie lisse fixée au bord de la table à une autre masse 𝑚 deux suspendue librement verticalement sous la poulie. Une masse de 6,69 kilogrammes a été ajoutée à 𝑚 un. Lorsque ce système a été libéré en partant de l’arrêt, il s’est accéléré à sept vingtièmes de 𝑔. Ensuite, une autre masse de 6,75 kilogrammes a été ajoutée à 𝑚 un. En conséquence, l’accélération du système a ralenti à treize cinquantièmes de 𝑔. Déterminez 𝑚 un et 𝑚 deux. Prenez 𝑔 égale à 9,8 mètres par seconde au carré.

Nous pouvons commencer par tracer un schéma de cette situation. Nous commençons avec deux masses, 𝑚 un et 𝑚 deux, reliées par une corde sur une poulie lisse. 𝑚 un est au repos sur une surface qui n’a aucune résistance au mouvement. Avec le système au repos, nous ajoutons une masse sur 𝑚 un. Nous pouvons l’appeler 𝑚 𝑎, où 𝑚 𝑎 est 6,69 kilogrammes. Après avoir ajouté 𝑚 𝑎, le système est libéré à se déplacer avec 𝑚 deux descendant et tirant 𝑚 un et 𝑚 𝑎 avec lui. Dans ces conditions, l’accélération du système, que nous pouvons appeler 𝑎 indice 𝑎, est égale à sept vingtièmes fois l’accélération de la pesanteur, que nous prenons comme exactement 9,8 mètres par seconde au carré. Pendant que le système est en mouvement, nous ajoutons une troisième masse au système. Nous pouvons l’appeler 𝑚 indice 𝑏 qui a une masse de 6,75 kilogrammes. Dans ces conditions, l’accélération du système ralentit pour atteindre une valeur que nous pouvons appeler a indice b, treize cinquantièmes fois 𝑔.

Sur la base de ces informations, nous voulons calculer les valeurs de masse 𝑚 un et 𝑚 deux. Pour ce faire, nous pouvons commencer par considérer la deuxième loi de Newton qui nous dit que la force totale sur un système est égale à la masse du système multipliée par son accélération. Si nous considérons les forces dans notre scénario, nous savons que le plateau de la table est lisse et ne fournit aucune résistance au mouvement, et que la poulie tourne sans résistance elle-même. Chacune des masses 𝑚 𝑏, 𝑚 𝑎 et 𝑚 un a des forces de poids associées. Mais tous agissent dans la direction verticale alors que le mouvement est dans l’horizontale. Ainsi, les poids de ces trois masses n’affectent pas le mouvement de notre système. La seule force qui affecte le mouvement de notre système est le poids de la masse 𝑚 deux qui est égale à 𝑚 deux fois 𝑔.

Si nous définissons le mouvement dans ce sens comme un mouvement positif et que nous considérons le scénario du début lorsque nous n’avons ajouté que 𝑚 𝑎 au système de masses, ce qui signifie que le système accélère avec 𝑎 indice 𝑎, alors nous pouvons écrire que le poids de la masse 𝑚 deux, 𝑚 deux 𝑔, est égale à la masse de notre système multipliée par 𝑎 indice 𝑎, l’accélération dans ces conditions. Notre système, à ce moment, se compose de nos trois masses 𝑚 deux, 𝑚 un et 𝑚 𝑎. Nous substituons donc leur somme pour 𝑚. En réarrangeant ensuite pour calculer 𝑎 indice 𝑎, nous trouvons que c’est égal à 𝑚 deux fois 𝑔 divisé par la somme des trois masses impliquées. Et nous savons aussi qu’elle est égale à sept vingtièmes 𝑔. Une fois que nous avons cette équation, nous pouvons la mettre de côté car elle va nous aider plus tard à calculer 𝑚 un et 𝑚 deux. Ce que nous avons avec cette équation est essentiellement la description du mouvement pour notre système quand il se compose de 𝑚 un, 𝑚 deux et 𝑚 𝑎.

Nous allons ensuite ajouter 𝑚 𝑏 au système et écrire une autre équation du mouvement. Avec deux équations de mouvement et deux inconnues, 𝑚 un et 𝑚 deux, nous pourrons obtenir l’information que nous voulons. Donc, compte tenu du système avec les quatre masses impliquées, la seule force qui provoque un mouvement dans ce système est le poids de 𝑚 deux. Alors cette fois-là, lorsque nous appliquons la deuxième loi de Newton à notre scénario, nous écrivons 𝑚 deux 𝑔 est égal à la somme de nos quatre masses multipliées par l’accélération de notre système dans cette condition, qui est 𝑎 indice 𝑏 ou treize cinquantièmes 𝑔.

Nous pouvons réécrire cette expression pour calculer 𝑎 indice 𝑏. C’est 𝑚 deux fois 𝑔 divisé par la somme des quatre masses qui équivaut à treize cinquantièmes fois l’accélération due à la pesanteur. C’est notre deuxième équation du mouvement. Avec ces deux équations distinctes et deux inconnues que nous voulons calculer, nous pouvons commencer par le calcul de 𝑚 un en fonction de 𝑚 deux, en utilisant la première équation que nous avons dérivée.

En commençant par cette équation, nous la réarrangerons algébriquement pour isoler 𝑚 un. Nous voyons dans cette équation que le facteur 𝑔 s’annule des deux côtés. Et si nous multiplions les deux côtés de l’équation par le dénominateur du côté gauche et réarrangeons, nous trouvons que 𝑚 un est égal à treize septièmes 𝑚 deux moins 𝑚 𝑎. Nous allons maintenant prendre ce résultat et le substituer à 𝑚 un dans notre deuxième équation. Lorsque nous le faisons, nous voyons une fois de plus les facteurs de 𝑔 s’annuler, de même que la masse 𝑚 𝑎, au dénominateur du côté gauche.

Nous avons maintenant une expression qui implique uniquement 𝑚 deux, l’inconnue, et autres grandeurs qui sont connues. En réarrangeant, nous constatons que 𝑚 deux est égal à 𝑚 𝑏 sur cinquante treizièmes moins vingt-septièmes. En plaçant la valeur donnée de 𝑚 𝑏 de 6,75 kilogrammes, lorsque nous entrons cette valeur sur notre calculatrice, nous trouvons un résultat de 6,825 kilogrammes. C’est la valeur de la masse 𝑚 deux.

Nous pouvons maintenant utiliser notre équation pour 𝑚 un, en fonction de 𝑚 𝑎 et 𝑚 deux, pour calculer 𝑚 un. 𝑚 deux, nous savons que c’est 6,825 kilogrammes. Et 𝑚 𝑎 est donné comme 6,69 kilogrammes. En entrant ces valeurs sur notre calculatrice, nous trouvons 5,985 kilogrammes. C’est la valeur de la masse 𝑚 un.

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