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Vidéo question :: Utiliser la règle de l’addition pour déterminer la probabilité de l’intersection de deux évènements Mathématiques • Deuxième année secondaire

Soient 𝐴 et 𝐵 deux événements de probabilités 𝑃(𝐴) = 0,58 et 𝑃(𝐵) = 0,2. Sachant que 𝑃 (𝐴 ∪ 𝐵) = 0,64, déterminez 𝑃 (𝐴 ∩ 𝐵).

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Transcription de la vidéo

Soient 𝐴 et 𝐵 deux événements de probabilités probabilité de 𝐴 égale 0,58 et la probabilité de 𝐵 égale 0,2. Sachant que la probabilité de l'union de 𝐴 et 𝐵 est égale à 0,64, trouver la probabilité de l'intersection de 𝐴 et 𝐵.

Je veux d'abord expliquer ce que signifient les données que nous avons. On aurait d'abord dessiné un petit diagramme de Venn. On a 𝐴, le cercle à gauche, et 𝐵, le cercle à droite. Premièrement, nous avons une information qui nous indique la probabilité de 𝐴. On voit donc que la probabilité de 𝐴 est égale à 0,58. J'ai montré ce que signifie la probabilité de 𝐴 sur notre diagramme de Venn. Et 𝐴 est la zone que j'ai colorée ici. Donc je l'ai hachurée en rose. C'est 𝐴, car c'est tout ce qui se trouve dans le cercle à gauche.

Ensuite, on nous dit que la probabilité que 𝐵 se produise est égale à 0,2. J'ai montré ça dans un autre diagramme. Donc, vous pouvez voir que tout ce qui se produit dans ce cercle à droite est la probabilité de 𝐵. Et on nous dit que la probabilité de l'union de 𝐴 et 𝐵 est égale à 0,64. Cela signifie donc que tout ce qui est dans 𝐴 ou dans 𝐵 aura une probabilité de 0,64. Et on peut voir que 𝐴 ou 𝐵 est tout ce qui est dans le cercle à gauche et tout ce qui est dans le cercle à droite. Ce serait donc cette zone.

Mais pour répondre à la question, on cherche à trouver la probabilité de l'intersection de 𝐴 et 𝐵. Ce qui signifie : 𝐴 et 𝐵. Et c'est la section qui se chevauche au milieu. Je l'ai colorée en bleu. Alors comment peut-on calculer ça ? On voit que la probabilité de l'intersection de 𝐴 et 𝐵 serait égale à la probabilité de 𝐴 plus la probabilité de 𝐵. Donc, on voit sur le diagramme qu'elles seront les zones hachurées des deux cercles, mais alors moins la probabilité de 𝐴 union 𝐵. Car si on enlève ça, ça nous donne la section de chevauchement, qui serait notre 𝐴 inter 𝐵. Donc, si on fait ça, on aura 0,58 plus 0,2 moins 0,64, ce qui nous donnera 0,78 moins 0,64, et la réponse finale sera que la probabilité de l'intersection de 𝐴 et 𝐵 est 0,14.

Donc, parfait. J'ai montré ça en utilisant des diagrammes. Et on voit exactement d'où ça vient. Et on a notre réponse finale. Il y aurait pu y avoir un moyen plus rapide de le faire. Et c’est en utilisant une formule. Et cette formule nous dit que la probabilité de l'union de 𝐴 et 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 plus la probabilité de 𝐵 moins la probabilité de l'intersection de 𝐴 et 𝐵, que nous aurions pu réarranger en la probabilité de 𝐴 inter 𝐵 égale la probabilité de 𝐴 plus la probabilité de 𝐵 moins la probabilité de 𝐴 union 𝐵. Pour cela, il faut ajouter la probabilité de l'intersection de 𝐴 et 𝐵 aux deux membres de l'équation et soustraire la probabilité de l'union de 𝐴 et 𝐵. On peut donc obtenir la réponse finale de l'une ou l'autre façon.

Et notre réponse finale est la probabilité de 𝐴 et 𝐵 ou la probabilité de 𝐴 inter 𝐵 égale 0,14.

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