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Vidéo question :: Déterminer le produit vectoriel de deux vecteurs Mathématiques • Troisième année secondaire

Sachant que 𝐀 = −9𝐢 - 𝐣 + 3𝐤 et 𝐁 = 3𝐢 - 2𝐣 - 7𝐤, déterminez 𝐀 × 𝐁.

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Transcription de la vidéo

Sachant que le vecteur 𝐀 égal moins neuf 𝐢 moins 𝐣 plus trois 𝐤 et 𝐁 égal trois 𝐢 moins deux 𝐣 moins sept 𝐤, déterminez le produit vectoriel de 𝐀 et 𝐁.

Le produit vectoriel de deux vecteurs peut s’écrire comme le déterminant d’une matrice, où les éléments de la première ligne de la matrice sont les vecteurs unitaires 𝐢, 𝐣 et 𝐤 qui pointent respectivement dans les directions positives des 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Les éléments de la deuxième ligne de cette matrice sont les coefficients de 𝐢, 𝐣 et 𝐤, respectivement, pour le premier vecteur, du produit vectoriel 𝐀. Ainsi, comme 𝐀 égal moins neuf 𝐢 moins 𝐣, plus trois 𝐤, la deuxième ligne est donnée par : moins neuf, moins un, trois. Et pour la troisième et dernière ligne, on a simplement les coefficients de 𝐢, 𝐣, et 𝐤 du deuxième vecteur dans le produit vectoriel 𝐁. Notamment, trois, moins deux, et moins sept.

Nous avons maintenant un déterminant que nous pouvons calculer, et nous procéderons de manière traditionnelle en développant la première ligne. Le premier élément de la première ligne est le vecteur 𝐢 et le mineur correspondant est le déterminant de la matrice obtenue en éliminant la ligne et la colonne dans lesquelles se trouve 𝐢. C’est le déterminant : moins un, trois, moins deux, moins sept. Et nous multiplions ces deux-là. Et on obtient notre premier terme.

On fait pareil avec le deuxième élément de la première ligne qui est 𝐣, le mineur correspondant est obtenu en éliminant la deuxième colonne et la première ligne où 𝐣 se trouve. C’est le déterminant moins neuf, trois, trois, moins sept. On se rappelle que l'on doit soustraire ce terme. Et finalement, on ajoute le terme provenant du troisième élément de la première ligne qui est 𝐤 fois son mineur, le déterminant moins neuf, moins un, trois, moins deux.

Maintenant, il ne nous reste plus qu'à développer ces déterminants deux par deux. On calcule ainsi le produit des éléments de la diagonale principale, moins un fois moins sept, moins les éléments de l’autre diagonale, trois fois moins deux.

Et en calculant cela, on obtient 13, et donc le résultat est 13𝐢. Si on calcule également les déterminants deux par deux des deux autres termes, on obtient 13𝐢 moins 54𝐣 plus 21𝐤, soit la valeur du produit vectoriel de 𝐀 et 𝐁.

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