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Vidéo question :: Déterminer l’aire d’un octogone régulier compte tenu de la longueur de ses côtés Mathématiques • Première année secondaire

Le côté d’un octogone régulier mesure 5 cm. Calculez l’aire de l’octogone au centième de centimètre carré près.

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Transcription de la vidéo

Le côté d’un octogone régulier mesure cinq centimètres. Calculez l’aire de l’octogone au centième de centimètre carré près.

Dans cette question, on nous donne des informations sur un octogone régulier. On nous dit que la longueur de ses côtés est égale à cinq centimètres. Nous devons utiliser ceci pour trouver l’aire de l’octogone. Et nous devons donner notre réponse au centième de centimètre carré près.

Il y a en fait deux façons différentes de répondre à cette question. La première façon de répondre à cette question est de rappeler que nous connaissons une formule pour trouver l’aire d’un polygone régulier. Nous rappelons que l’aire d’un polygone régulier à 𝑛 côtés de longueur 𝑥 est donnée par 𝑛𝑥 carré sur quatre multiplié par la cotangente de 180 divisé par 𝑛 degrés. Donc, une façon de répondre à cette question serait d’utiliser cette formule. Nous allons devoir trouver le nombre de côtés de notre polygone et la longueur d’un côté.

Premièrement, dans la question, on nous dit que nous avons affaire à un octogone régulier. Et nous savons qu’un octogone a huit côtés, donc notre valeur de 𝑛 va être égale à huit. Ensuite, on nous dit également dans la question que les longueurs des côtés de notre octogone régulier seront égales à cinq centimètres. Nous allons donc définir notre valeur de 𝑥 égale à cinq centimètres. Tout ce que nous devons faire maintenant, c’est de substituer ces valeurs dans notre formule pour l’aire. En substituant 𝑛 égale huit et 𝑥 égale cinq centimètres dans notre formule, nous obtenons que l’aire de notre octogone régulier est huit multiplié par cinq centimètres au carré sur quatre multiplié par la cotangente de 180 divisé par huit degrés.

Et nous pouvons évaluer cette expression. Premièrement, huit multiplié par cinq au carré sur quatre est égal à 50. Ensuite, il convient également de souligner que nous savons que nous calculons une aire et que nous pouvons voir que nos longueurs sont données en centimètres. Et dans notre formule, nous obtenons des centimètres carrés. Nos unités vont donc être des centimètres carrés. Ensuite, nous pouvons simplifier de sorte que notre argument de cotangente de 180 divisé par huit soit égale à 45 sur deux. Donc, cela se simplifie pour nous donner cotangente de 45 sur deux degrés.

Nous devons donc prendre le produit de ces deux termes. Mais rappelez-vous, au lieu de multiplier par la cotangente d’un angle, nous pouvons plutôt diviser par la tangente de cet angle. Cela nous donne en centimètres carrés 50 divisé par la tangente de 45 sur deux degrés. Et nous pouvons calculer cette expression. Nous devons mettre notre calculatrice en mode degrés. Nous obtenons donc 120,710 etc. centimètres carrés.

Mais rappelez-vous, la question veut que nous donnions notre réponse à deux décimales près. Nous devons donc regarder notre troisième décimale pour déterminer si nous devons arrondir vers le haut ou vers le bas. Notre troisième décimale est zéro. Et c’est moins de cinq. Cela signifie donc que nous arrondissons vers le bas. Et cela nous donne notre réponse finale. L’aire d’un octogone régulier avec une longueur de côté de cinq centimètres à deux décimales près est de 120,71 centimètres carrés.

Maintenant, nous pouvons nous arrêter ici. Cependant, nous pourrions également essayer de répondre à cette question sans utiliser directement notre formule. Pour ce faire, nous allons commencer par esquisser notre octogone. Et il n’a pas besoin d’être précis car il ne s’agit que d’un croquis. Tout ce que nous devons savoir, c’est qu’il s’agit d’un octogone régulier. Ensuite, nous devons connecter les huit sommets de notre octogone au centre de notre octogone, ce qui nous donne les huit triangles suivants. Et il convient de souligner ici que, nous savons que ces huit triangles sont congruents car ils ont exactement les mêmes longueurs.

Donc, jusqu’à présent, nous savons que l’aire de cet octogone va être huit fois l’aire de l’un de ces triangles. Nous voulons donc trouver l’aire de l’un de ces triangles. Et nous ferons cela en divisant l’un d’entre eux en deux. Cela nous donne le triangle rectangle suivant. Et il convient de souligner ici. Que 16 d’entre eux constituent notre octogone. La base de ce triangle rectangle est la moitié de l’une des longueurs des côtés de notre octogone. C’est-à-dire cinq sur deux centimètres.

Mais pour trouver l’aire de ce triangle, nous voulons connaître sa hauteur afin que nous puissions utiliser la formule de la moitié de la base multipliée par la hauteur. Mais il n’est pas facile de trouver directement la hauteur de ce triangle. Donc, à la place, nous allons trouver l’angle intérieur de notre triangle. Et nous pouvons le trouver directement à partir de notre diagramme. On sait que 16 de ces triangles constituent notre octogone régulier. Cela signifie que les 16 triangles de cette rangée feront un tour complet. C’est-à-dire 360 degrés. Donc, cet angle dans notre triangle vaut de 360 divisé par 16 degrés.

Et en simplifiant cela, nous obtenons 45 sur deux degrés. Maintenant, si nous voulons trouver l’aire de ce triangle rectangle, nous devons trouver sa hauteur. Nous pouvons voir que nous connaissons l’un des angles de ce triangle rectangle et nous connaissons la longueur du côté opposé de ce triangle. Nous allons donc utiliser la trigonométrie. Nous rappelons que si nous avons un angle 𝐴 dans un triangle rectangle, alors la tangente de 𝐴 va être égale à la longueur du côté opposé à l’angle 𝐴 divisée par la longueur du côté adjacent à l’angle 𝐴.

En appliquant cela à l’angle que nous connaissons dans notre triangle rectangle, nous obtenons que la tangente de 45 sur deux degrés est égale à cinq sur deux, le tout divisé par la hauteur ℎ. Nous voulons l’utiliser pour trouver la valeur de ℎ, nous allons donc devoir multiplier par notre valeur de ℎ puis diviser par la tangente de 45 sur deux degrés. Et en simplifiant, nous obtenons que ℎ sera égal à cinq divisé par deux fois la tangente de 45 sur deux degrés, en centimètres.

Nous sommes maintenant prêts à trouver l’aire de notre octogone. Premièrement, l’aire de notre triangle rectangle sera égale à la moitié de la base multipliée par la hauteur. C’est-à-dire un demi fois cinq sur deux centimètres multiplié par cinq sur deux tangente de 45 sur deux degrés centimètres. Et enfin, rappelez-vous, 16 de ces triangles rectangles constituent l’octogone régulier. Nous pouvons donc trouver son aire en multipliant par 16.

Il ne reste donc qu’à évaluer cette expression. Premièrement, nous avons trois facteurs deux au dénominateur. Et nous pouvons les éliminer en même temps que trois des facteurs communs deux présents en 16. Cela nous laisse juste avec un facteur de deux au numérateur. Et puis nous pouvons simplifier ce numérateur. Nous avons deux multiplié par cinq multiplié par cinq. C’est-à-dire 50. Et nous pouvons également simplifier nos unités. Nous savons que c’est une aire. Et nous avons des centimètres multipliés par des centimètres. C’est-à-dire des centimètres carrés.

Donc, en fait, toute cette expression se simplifie pour nous donner 50 divisé par la tangente de 45 sur deux degrés, en centimètres carrés. Et c’est exactement l’expression que nous avons déjà calculée. À deux décimales près, cela correspond à 120,71 centimètres carrés. Par conséquent, nous avons pu proposer deux méthodes différentes pour calculer l’aire d’un octogone régulier de cinq centimètres de côté. Dans les deux cas, à la deuxième décimale près, nous avons obtenu 120,71 centimètres carrés.

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