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Vidéo question :: Calculer le rapport des aires de deux rectangles semblables après avoir doublé leurs dimensions à partir du rapport des longueurs des rectangles initiaux Mathématiques • Première année secondaire

Le rectangle 𝑄𝑅𝑆𝑇 est semblable au rectangle 𝐽𝐾𝐿𝑀, avec des côtés ayant un rapport de 8:9. Si les dimensions de chaque rectangle sont doublées, déterminez le rapport des aires des nouveaux rectangles.

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Transcription de la vidéo

Le rectangle 𝑄𝑅𝑆𝑇 est semblable au rectangle 𝐽𝐾𝐿𝑀, avec des côtés ayant un rapport de huit à neuf. Si les dimensions de chaque rectangle sont doublées, déterminez le rapport des aires des nouveaux rectangles.

Considérons tout d’abord notre rapport. Nous avons le rapport huit à neuf. Et il s’agit du rapport des côtés de 𝑄𝑅𝑆𝑇 à 𝐽𝐾𝐿𝑀. Il est ensuite indiqué que les dimensions de chaque rectangle sont doublées. Nous pourrions donc observer notre rapport et penser : « très bien, doublons les deux termes ». Et cela nous donnerait le rapport 16 à 18. Mais nous n’avons en réalité pas besoin de faire cela. Parce que lorsque l’on considère un rapport, il ne s’agit pas de la longueur réelle des côtés. Le rapport représente la relation de proportionnalité entre les deux objets étudiés.

On obtiendrait donc le rapport 16 à 18 si on multipliait les deux termes par deux. Mais cela se simplifierait à nouveau par huit à neuf, car si on multiplie chacun des côtés des rectangles par une même constante, le rapport reste en fait le même. Je vais vous montrer un petit exemple qui mettra en évidence pourquoi c’est le cas.

Étudions donc les deux rectangles dont les dimensions sont indiquées ici. Le premier rectangle a des côtés de longueur deux et trois et le deuxième des côtés de longueur trois et 4,5. Et le rapport des deux côtés les plus longs est trois à 4,5. Si nous doublons maintenant ces deux côtés pour agrandir les deux rectangles, nous obtenons les longueurs six et neuf. Le rapport entre ces côtés serait donc de six à neuf.

Mais si nous considérons à présent les côtés les plus courts des rectangles d’origine, eh bien, en théorie, ils devraient avoir exactement le même rapport si ce que nous avons dit précédemment est vrai. Voyons donc ce que nous avons. Les côtés les plus longs doublés ont le rapport six à neuf. Mais six et neuf ont un diviseur commun, qui est trois. Et, si on divise six et neuf par trois, on obtient deux et trois. Cela donne donc le rapport deux à trois, qui est le même que le rapport entre les côtés les plus courts.

Très bien, nous avons donc montré que doubler les côtés de rectangles n’affecte pas le rapport entre leurs longueurs. Et nous pouvons à présent résoudre ce problème, où nous devons déterminer le rapport des aires des rectangles doublés, car le rapport des aires des rectangles doublés est en fait le même que le rapport des aires des rectangles initiaux.

Et pour calculer le rapport des aires, il suffit d’élever les deux termes du rapport des longueurs au carré. Car on peut considérer qu’une longueur ne représente qu’une simple valeur. Mais qu’une aire représente une valeur au carré. Nous allons donc élever chaque terme de notre rapport au carré. On a ainsi huit au carré à neuf au carré. Ce qui donne le rapport 64 à 81.

Ce n’était donc pas si compliqué. Mais voyons comment cela fonctionne exactement avec l’exemple précédent. Pour ces rectangles, nous avons vu que le rapport entre leurs longueurs de côté était de deux à trois. Et que ce rapport restait le même que l’on double ou même triple leurs tailles. Cela n’affectait pas sa valeur.

Mais nous allons maintenant nous pencher sur le rapport de leurs aires. Pour calculer l’aire du premier rectangle, on multiplie les deux longueurs de côté, donc deux fois trois, ce qui donne six. Et pour l’aire du deuxième rectangle, on a trois fois 4,5, ce qui donne 13,5. Donc le rapport de leurs aires est le rapport six à 13,5.

Mais il est compliqué de manipuler un rapport sous cette forme. Nous pouvons donc essayer de le simplifier Si on double les deux termes du rapport, car on souhaite essayer d’éliminer la virgule, on obtient le rapport 12 à 27. Et on remarque que 12 et 27 partagent un diviseur commun de trois. En divisant 12 et 27 par trois, on obtient enfin le rapport quatre à neuf. Il s’agit donc du rapport des aires des deux rectangles.

Mais si nous revenons au rapport initial des côtés, il était de deux à trois. Eh bien, deux au carré égale quatre et trois au carré égale neuf. Donc cela correspond bien à ce que nous avons expliqué plus tôt. Qui est que pour calculer le rapport des aires de deux figures, il suffit d’élever les termes du rapport de leurs côtés au carré.

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