Vidéo question :: Déterminer la mesure de l’angle entre deux plans Mathématiques

Transcription de la vidéo

Déterminez, au degré près, la mesure de l’angle compris entre les plans d’équations deux fois la quantité 𝑥 moins un plus trois fois la quantité 𝑦 moins quatre plus quatre fois la quantité 𝑧 plus cinq égale zéro et 𝐫 scalaire un moins deux cinq égale 16.

D’accord, nous avons donc ces deux plans donnés par des équations de formes différentes. L’équation qui implique ce vecteur 𝐫, nous l’appellerons le plan deux, est donnée sous forme vectorielle, tandis que l’autre plan, nous l’appellerons le plan un, est presque donné sous la forme dite générale. En cherchant à trouver l’angle entre ces deux plans, nous commencerons par trouver un vecteur qui est normal au plan un et un vecteur qui est normal au plan deux. Nous le faisons parce que le cosinus de l’angle entre deux plans est donné par cette expression, où 𝐧 un et 𝐧 deux sont des vecteurs normaux à ces deux plans.

En commençant par l’équation de notre premier plan, si nous multiplions toutes les parenthèses puis rassemblons toutes les valeurs, sans multiplier une variable, nous constatons que deux 𝑥 plus trois 𝑦 plus quatre 𝑧 plus six égale zéro. Maintenant, notre plan est donné sous ce qu’on appelle la forme générale. Et, sous cette forme, les composantes d’un vecteur normal à ce plan sont données par les valeurs qui multiplient 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Si nous prenons ce vecteur qui est normal au plan 𝐧 un, cela signifie qu’il a les composantes deux, trois et quatre.

En passant au deuxième plan, comme nous l’avons vu, il est donné sous la forme dite vectorielle. Ainsi écrit, nous avons un vecteur 𝐫 qui pointe vers un point quelconque du plan, en produit scalaire avec le vecteur qui lui est normal. Cela signifie que nous pouvons immédiatement lire les composantes d’un vecteur normal à ce plan, nous l’appellerons 𝐧 deux. Maintenant que nous connaissons les composantes des vecteurs normaux de nos deux plans, nous pouvons les substituer dans cette expression. Le cosinus de l’angle entre les deux plans, plan un et plan deux, est égal à la norme du produit scalaire de ces deux vecteurs divisée par le produit de la norme de chacun.

Si nous commençons à évaluer ce produit scalaire dans notre numérateur et à éliminer les différentes composantes de notre dénominateur, nous obtenons cette expression, qui se simplifie en 16 divisé par la racine carrée de 30 fois la racine carrée de 29. Nous rappelons que cela est égal au cosinus de l’angle entre nos plans. Et cela signifie que thêta lui-même est égal à l’arc cosinus de 16 sur la racine de 30 fois la racine de 29. En entrant cette expression dans notre calculatrice, elle est égale à 57 degrés, au degré près. C’est la mesure de l’angle entre nos deux plans.