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Vidéo question :: Déterminer la conversion correcte d’un angle en degrés- minutes- et secondes Mathématiques • Troisième préparatoire

Le professeur de Victor lui a demandé d'exprimer 58°59′40′′ en degrés seulement sans utiliser la calculatrice. Victor a oublié la méthode à suivre, alors il n'a pas pu répondre à la question de son professeur. Son professeur a demandé à ses collègues Pierre, Adrien et Jacques de l'aider. Pierre a dit que la réponse est 157°, Adrien a dit que la réponse est 58,9944°, et Jacques a dit que la réponse est 59,65°. Qui a donné la bonne réponse ? [A] Adrien [B] Jacques [C] Pierre

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Transcription de la vidéo

Le professeur de Victor lui a demandé d’exprimer 58 degrés, 59 minutes et 40 secondes en degrés uniquement sans utiliser la calculatrice. Victor a oublié la méthode à suivre, alors il n'a pas pu répondre à la question de son professeur. Son professeur a demandé à ses collègues Pierre, Adrien et Jacques de l'aider. Pierre a dit que la réponse est 157°, Adrien a dit que la réponse est 58,9944°, et Jacques a dit que la réponse est 59,65°. Qui a donné la bonne réponse ? Est-ce l’option (A) Adrien, l’option (B) Jacques ? Ou bien l’option (C) Pierre ?

Dans cette question, trois étudiants différents essaient de convertir 58 degrés, 59 minutes et 40 secondes en degrés. Il faut déterminer laquelle des trois options est correcte. Est-ce 157 degrés, 58,9944 degrés ou 59,65 degrés ? Pour ce faire, on peut convertir nous-mêmes l'angle en degrés. Il suffit noter qu'une minute est égale à un soixantième de degré et qu'une seconde est égale à un soixantième de minute. Cela nous donne une formule pour convertir un angle donné en degrés, minutes et secondes en un angle donné en degrés.

𝑑 degrés, 𝑚 minutes, 𝑠 secondes sera donc égal à 𝑑 plus 𝑚 sur 60 plus 𝑠 divisé par 3600 degrés. Et cela résulte directement des définitions des minutes et des secondes. Une minute est un soixantième de degré et une seconde est un soixantième de minute, ce qui revient à dire qu'une seconde est un sur 3600 degré.

On peut donc substituer 𝑑 à 58, 𝑚 à 59, et 𝑠 à 40 dans cette formule pour trouver l'angle en degrés. On obtient que 58 degrés, 59 minutes et 40 secondes valent 58 plus 59 sur 60 plus 40 divisé par 3600 degrés. On pourrait alors calculer cette expression à l'aide d'une calculatrice ; cependant, le professeur de Victor a voulu qu'il le fasse sans utiliser de calculatrice. On doit donc essayer de faire le calcul sans utiliser de calculatrice.

Pour cela, il faut d'abord remarquer que le nombre de minutes et le nombre de secondes qui nous sont donnés sont tous les deux inférieurs à 60. Cela veut dire que le nombre de degrés total en minutes et en secondes sera inférieur à un degré complet. La réponse sera donc 58 virgule une valeur quelconque. Cela suffit en fait pour éliminer deux de nos options. La réponse ne peut pas être 157 degrés ou 59 degrés, qui commencent par un nombre différent de 58.

On peut donc considérer que la réponse d'Adrien est correcte. Cependant, il faut aussi vérifier que cela est vrai. Si aucune option ne nous était donnée, on pourrait conclure que les trois sont incorrectes. Nous pouvons bien sûr faire ça en utilisant une calculatrice. Mais essayons de vérifier cette solution sans utiliser de calculatrice. Tout d'abord, nous devons calculer notre expression. Pour ce faire, il faut simplifier la fraction finale, 40 divisé par 3600. Tout d'abord, on peut simplifier par le facteur commun de 10 dans le numérateur et le dénominateur. De même, on peut simplifier par le facteur commun de quatre dans le numérateur et le dénominateur en notant que 360 sur quatre est 90. On obtient donc 58 plus 59 sur 60 plus un sur 90 degrés.

Nous allons maintenant additionner les deuxième et troisième termes. Pour cela, il faut les écrire avec un dénominateur commun. Remarquant que nous pouvons écrire les deux fractions avec un dénominateur commun de 180. On multiplie 59 sur 60 par trois divisé par trois pour obtenir 177 divisé par 80 et un sur 90 par deux divisé par deux pour obtenir deux sur 180. Il nous suffit ensuite d'additionner les numérateurs pour obtenir 179 divisé par 180.

Ainsi, l'angle en degrés, minutes et secondes peut être réécrit comme suit : 58 plus 179 divisé par 180 degrés. Cette expression n'est pas facile à évaluer sans calculatrice. Le plus simple serait de remarquer qu'elle est égale à 59 moins un sur 180. Pour écrire cette expression sous forme décimale, nous devrions savoir que un sur 180 est 0,005 récurrent. Ce qui nous permettrait alors de calculer la réponse. C'est 58,994 récurrent., ce qui, à quatre décimales près, donne 58,9944 degrés.

Par conséquent, nous avons pu montrer que la réponse correcte était celle d'Adrien.

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