Vidéo : Limites et comportement asymptotique

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser les limites pour comprendre le comportement asymptotique des fonctions.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser les limites pour nous aider à comprendre le comportement asymptotique des fonctions. Nous allons rappeler ce que cela signifie réellement pour une fonction d’avoir des asymptotes horizontales et verticales et d’utiliser les lois des limites pour nous aider à déterminer l’emplacement de toute asymptote.

Nous commençons par rappeler la définition d’une asymptote horizontale ou verticale. Ils sont, respectivement, des droites horizontales et verticales de telle sorte que la distance entre la courbe et la droite se rapproche de zéro lorsque soit la coordonnée 𝑥 ou 𝑦 tend vers ∞. La courbe de 𝑦 est égale à un sur 𝑥 au carré, par exemple, a une asymptote horizontale donnée par l’équation 𝑦 est égale à zéro et une asymptote verticale donnée par l’équation 𝑥 est égale à zéro.

Il est important de comprendre qu’une fonction peut ne pas avoir d’asymptote horizontale ou verticale. Par exemple, 𝑦 égal sinus de 𝑥 et même 𝑦 est égal à cos de 𝑥 ont pas d’asymptote. De même, les courbes des polynômes sont lisses et continues, sans aucune asymptote. Ce que nous cherchons à faire est d’officialiser cette définition en utilisant des limites. Si nous prenons 𝑓 définie sur un intervalle ouvert 𝑎 à ∞, alors si la limite lorsque 𝑥 approche ∞ de la fonction est égale à une valeur constante 𝐿, cela signifie que la valeur de la fonction peut être faite arbitrairement proche de 𝐿 lorsque 𝑥 devient suffisamment grand. Visuellement, ça pourrait ressembler un peu à ça.

Sinon, on peut dire que, pour une fonction de déterminer sur un certain intervalle ouvert moins ∞ à 𝑎, alors si la limite lorsque 𝑥 approche moins ∞ de la fonction est égale à une constante 𝐿. Ensuite, les valeurs de la fonction peut être arbitrairement proche de 𝐿, cette fois en exigeant 𝑥 suffisamment grand et négatif. Et encore une fois, nous avons une figure représentant ce scénario. Notez que chaque fois, la courbe se rapproche de la droite horizontale 𝑦 est égal à 𝐿 lorsque 𝑥 devient suffisamment grand en valeur absolue. Et cela nous aide à définir formellement une asymptote horizontale. Nous disons que la droite donnée par l’équation 𝑦 est égale à 𝐿 est une asymptote horizontale de la courbe 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 si la limite lorsque 𝑥 approche ∞ de 𝑓 de 𝑥 égale 𝐿 ou la limite lorsque 𝑥 approche moins ∞ de 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝐿.

Et qu’en est-il de nos asymptotes verticales ? Cette fois, on dit que la droite 𝑥 est égale à 𝑎 est une asymptote verticale de 𝑦 est égal à 𝑓 de 𝑥 si au moins l’une des affirmations suivantes est vraie. Nous pouvons examiner les limites unilatérales. Si la limite lorsque 𝑥 approche 𝑎 de la gauche de 𝑓 de 𝑥 est soit plus ou moins ∞. Si la limite lorsque 𝑥 approche 𝑎 de la droite de 𝑓 de 𝑥 est plus ou moins ∞. Ou simplement, si la limite lorsque 𝑥 se rapproche de 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 est plus ou moins ∞. Et cela est une fonction à déterminer sur un intervalle ouvert contenant 𝑎 sauf peut-être en 𝑥 égal 𝑎. En particulier, avec les fonctions rationnelles, celles écrites sous forme de quotients de deux fonctions, les asymptotes verticales sont des droites verticales qui correspondent à ces zéros du dénominateur de notre fonction rationnelle. Nous allons maintenant examiner comment appliquer ces définitions.

Déterminer les asymptotes horizontales et verticales de 𝑓 de 𝑥 est égal à deux 𝑥 au cube plus deux sur 𝑥 au cube moins un.

Commençons par rappeler la définition d’une asymptote horizontale et verticale. Nous disons que la droite 𝑦 est égale à 𝐿 est appelée une asymptote horizontale de la courbe 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 si la limite lorsque 𝑥 approche ∞ de 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝐿 ou à la limite lorsque 𝑥 approche moins ∞ de 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝐿. Et nous disons que la droite verticale 𝑥 est égale à 𝑎 est appelée une asymptote verticale de la courbe 𝑦 est égale à 𝑓 de 𝑥 si au moins l’une des déclarations est vrai. Plus généralement, avec les fonctions rationnelles, celles écrites comme les quotients de deux fonctions, les asymptotes verticales sont les droite verticales qui correspondent aux zéros du dénominateur de la fonction.

Donc, dans cette question, 𝑓 de 𝑥 est égal à deux 𝑥 au cube plus deux sur 𝑥 au cube moins un. Nous allons donc commencer par déterminer la limite lorsque 𝑥 approche ∞ de deux 𝑥 au cube plus deux sur 𝑥 au cube moins un. Nous commençons généralement par vérifier si nous pouvons le faire avec une substitution directe. Cependant, si nous utilisions la substitution directe, nous nous déterminerions avec ∞ sur ∞, que nous savons être une forme indéterminée. Nous allons donc chercher à manipuler quelque peu notre expression. Nous allons diviser le numérateur et le dénominateur de notre quotient par la plus grande puissance de 𝑥 dans le dénominateur. C’est 𝑥 au cube. Cela nous donne deux 𝑥 au cube sur 𝑥 au cube plus deux sur 𝑥 au cube le tout 𝑥 au cube sur 𝑥 au cube un moins sur 𝑥 au cube.

Bien sûr, deux 𝑥 au cube sur deux 𝑥, c’est deux. Et 𝑥 cube sur 𝑥 cube est un. Et maintenant, nous voyons que nous laissons 𝑥 approche ∞, deux sur 𝑥 au cube et un sur 𝑥 au cube chaque approche zéro. Ainsi, la limite lorsque 𝑥 approche ∞ de notre fonction est deux sur un, ce qui est simplement deux. Et en fait, il s’ensuit que lorsque 𝑥 approche moins ∞, nous obtenons le même résultat. La droite avec l’équation 𝑦 égale deux est donc une asymptote horizontale de notre fonction.

Nous passons maintenant à la recherche de l’asymptote verticale. Nous cherchons à déterminer la valeur de 𝑥 telle que la limite lorsque 𝑥 se rapproche de cette valeur de la fonction soit plus ou moins ∞. Et bien sûr, la manière dont nous réalisons cela avec des fonctions rationnelles consiste à rechercher les zéros du dénominateur. Eh bien, le dénominateur de notre fonction est 𝑥 au cube moins un. Il faut donc déterminer où 𝑥 cube moins un est égal à zéro. Ajoutons un des deux côtés de notre équation et telle que 𝑥 au cube soit égal à un. Et ensuite, nous prendrons la racine cubique des deux côtés. Et nous constatons que la vraie solution à l’équation 𝑥 cube moins un égal à zéro est 𝑥 égal à un. Et nous avons trouvé l’asymptote verticale de notre fonction. C’est 𝑥 est égal à un.

Dans notre prochain exemple, nous examinerons une fonction qui nécessite un peu plus de manipulation.

Déterminer les asymptotes horizontales et verticales de 𝑓 de 𝑥 est égal à un sur 𝑥 moins un moins deux.

Nous commençons par rappeler la définition d’une asymptote horizontale et verticale. Nous disons que la droite 𝑦 est égale à 𝐿 est une asymptote horizontale d’une fonction 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 si la limite lorsque 𝑥 approche moins ou plus ∞ de 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝐿. De même, 𝑥 égal à 𝑎est une asymptote verticale d’une fonction 𝑦 égale à 𝑓 de 𝑥 si l’une des six affirmations est vraie. C’est, la limite lorsque 𝑥 approche 𝑎 de la gauche de la fonction est plus ou moins ∞. La limite lorsque 𝑥 approche 𝑎 de la droite de la fonction est plus ou moins ∞. Ou la limite lorsque 𝑥 approche 𝑎 de la fonction est plus ou moins ∞.

Maintenant, notre fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à un sur 𝑥 moins un moins deux. Nous allons donc commencer par évaluer la limite lorsque 𝑥 approche d’un sur 𝑥 moins un moins deux. Et en fait, très peu de manipulation est nécessaire ici. Lorsque 𝑥 devient suffisamment grand, un sur 𝑥 moins un s’approche de zéro. Ainsi, la limite lorsque 𝑥 approche ∞ de un sur 𝑥 moins un moins deux est égale à zéro moins deux, ce qui est simplement moins deux. En fait, lorsque 𝑥 approche moins ∞, un sur 𝑥 moins on se rapproche encore zéro. Donc, la limite lorsque 𝑥 se rapproche de moins ∞ de 𝑓 de 𝑥 est égale à moins deux. Et nous trouvons que la droite d’équation 𝑦 est égale à moins deux est une asymptote horizontale de notre fonction.

Ensuite, examinons les asymptotes verticales. Moins formellement, nous disons que, avec les fonctions rationnelles, c’est-à-dire celles qui sont écrites comme le quotient de deux fonctions, les asymptotes verticales sont les droites qui correspondent aux zéros du dénominateur de la fonction. Donc, en fait, nous allons commencer par soustraire deux de un sur 𝑥 moins un en posant un dénominateur commun. On multiplie deux sur un par 𝑥 moins un sur 𝑥 moins un. Et ensuite, on peut soustraire le numérateur. Nous avons donc un moins deux fois 𝑥 moins un sur 𝑥 moins un. Nous simplifions. Et nous constatons que 𝑓 de 𝑥 peut être écrit trois moins deux 𝑥 plus 𝑥 moins un.

Nous nous intéressons aux valeurs de 𝑥 afin que notre dénominateur 𝑥 moins un soit égal à zéro. Eh bien, si nous résolvons cette équation pour 𝑥 en ajoutant un aux deux côtés, nous trouvons que 𝑥 est égal à un. Nous avons donc trouvé que les asymptotes horizontales et verticales de 𝑓 de 𝑥 étaient égales à un sur 𝑥 moins un moins deux. L’asymptote horizontale est 𝑦 égal à moins deux. Et l’asymptote verticale est 𝑥 égale à un.

Nous allons maintenant examiner comment nous pourrions déterminer des asymptotes pour une fonction non rationnelle.

Déterminer les asymptotes horizontales et verticales de la fonction 𝑓 de 𝑥 est égal à trois 𝑥 sin moins 𝑥.

Nous rappelons la droite horizontale 𝑦 est égale à 𝐿 est une asymptote à la fonction 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 si la limite lorsque 𝑥 approche plus ou moins ∞ de 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝐿. Ensuite, pour une asymptote verticale, nous disons 𝑥 égal 𝑎 est une asymptote si la limite lorsque 𝑥 approche 𝑎 de la gauche de 𝑓 de 𝑥 est plus ou moins ∞. Si la limite lorsque 𝑥 approche 𝑎 de la droite de 𝑓 de 𝑥 est plus ou moins ∞. Ou si la limite lorsque 𝑥 approche 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 est plus ou moins ∞.

Maintenant, dans cette question, 𝑓 de 𝑥 est donnée par trois 𝑥 sin moins 𝑥. Commençons donc par déterminer la limite lorsque 𝑥 approche ∞ de trois 𝑥 moins le sinus 𝑥. Ensuite, nous rappelons que la limite de la somme ou de la différence de deux fonctions est égale à la somme ou à la différence des limites de ces fonctions respectives. Et nous pouvons écrire cela comme la limite lorsque 𝑥 approche ∞ de trois 𝑥 moins la limite lorsque 𝑥 approche ∞ du sinus 𝑥. À mesure que 𝑥 s’approche de ∞, trois 𝑥 s’approchent également de ∞ alors que sin 𝑥 ne peut prendre des valeurs que dans l’intervalle fermé moins un à plus un. Ainsi, la limite lorsque 𝑥 approche ∞ de trois 𝑥 moins le sinus 𝑥 est ∞. Ce n’est pas une valeur constante comme requis par 𝐿. Donc, il n’y a pas d’asymptote horizontale ici.

Nous devrions vérifier la limite lorsque 𝑥 approche moins ∞. Encore une fois, nous le divisons en la limite de trois 𝑥 moins la limite du sinus 𝑥. Lorsque 𝑥 tend vers moins ∞, trois 𝑥 se rapprochent également de moins ∞. Une fois encore, le sinus 𝑥 oscille entre moins un et plus un. Cela a très peu d’impact sur un nombre aussi grand que moins ∞. Donc, la limite lorsque 𝑥 approche moins ∞ de trois 𝑥 moins le sinus 𝑥 est moins ∞. Et on peut dire qu’il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Maintenant, considérons les asymptotes verticales. Nous découperons le calcul de notre limite. Et nous allons chercher la limite lorsque 𝑥 approche 𝑎 de trois 𝑥 moins la limite lorsque 𝑥 approche 𝑎 du sinus 𝑥. Nous voulons déterminer une situation où cela pourrait être égal à plus ou moins ∞. Eh bien, nous avons vu que le seul moyen pour que la limite de trois 𝑥 soit ∞ soit que 𝑥 s’approche de ∞. De même, pour trois 𝑥 approche moins ∞, 𝑥 elle-même doit approcher moins ∞ alors que l’ensemble image du sinus 𝑥 est l’intervalle fermé moins un à plus un. La seule façon pour que la limite de notre fonction plus ou moins ∞ est si 𝑥 s’approche de plus ou moins ∞. Donc, en réalité, il n’y a pas non plus d’asymptote verticale. Ainsi, la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à trois 𝑥 moins sin 𝑥 ne présente aucune asymptote horizontale ou verticale.

En considérant les trois exemples que nous avons examinés jusqu’à présent dans cette vidéo, vous pourriez être enclin à penser que toute fonction qui n’est pas une fonction rationnelle n’aura pas d’asymptotes horizontales ou verticales. En fait, ce n’est pas vrai. Et nous pouvons en citer quelques-unes. Nous savons que la limite lorsque 𝑥 se rapproche de zéro par la droite de la fonction logarithme naturel de 𝑥 est moins ∞. Et donc 𝑥 égal à zéro est une asymptote verticale pour la fonction 𝑦 est égale au logarithme naturel de 𝑥. Et en fait, il en va de même pour 𝑦 est égal à log base 𝑏 de 𝑥 à condition que la valeur de 𝑏 soit strictement supérieure à un.

Dans cette vidéo, nous avons appris que la droite 𝑦 est égale à 𝐿 est appelée une asymptote horizontale de la courbe 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 si la limite lorsque 𝑥 approche ∞ de 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝐿 ou à la limite lorsque 𝑥 approche moins ∞ de 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝐿. De même, nous avons constaté que la droite verticale 𝑥 est égale à 𝑎 est une asymptote verticale de la courbe 𝑦 est égale à 𝑓 de 𝑥 si l’une des six affirmations est exacte. Nous avons vu que, moins formellement, avec les fonctions rationnelles, les asymptotes verticales correspondent aux zéros du dénominateur de cette fonction.

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