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Vidéo question :: Déterminer l'aire d'un rectangle diagonal d'un parallélépipède rectangle étant donné ses dimensions Mathématiques • Deuxième année secondaire

𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′ est un parallélépipède rectangle dont les trois dimensions sont 𝐴𝐵 = 69 cm, 𝐵𝐶 = 55 cm et 𝐴𝐴 ′ = 92 cm. Déterminez l’aire du rectangle 𝐶𝐵𝐴′𝐷 ′.

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Transcription de la vidéo

𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴 prime 𝐵 prime 𝐶 prime 𝐷 prime est un parallélépipède rectangle dont les trois dimensions sont 𝐴𝐵 égale 69 centimètres, 𝐵𝐶 égale 55 centimètres et 𝐴𝐴 prime égale 92 centimètres. Déterminez l'aire du rectangle 𝐶𝐵𝐴 prime 𝐷 prime.

On commence par noter les dimensions données. 𝐴𝐵 est de 69 centimètres, 𝐵𝐶 est de 55 centimètres, et 𝐴𝐴 prime est de 92 centimètres. On nous dit que la forme tridimensionnelle de cette figure est un parallélépipède. Et généralement, on voit un tel parallélépipède dessiné comme ça. Cependant. 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴 prime 𝐵 prime 𝐶 prime 𝐷 prime est considéré comme un parallélépipède rectangle, un type particulier de parallélépipède dont les six faces sont rectangulaires. On peut alternativement penser à cette forme comme un pavé droit ou un prisme rectangulaire. Ce qui signifie que nous aurons des angles droits ici, ici et ici.

Alors voyons ce qu'on nous demande de calculer. Il s'agit de l'aire du rectangle 𝐶𝐵𝐴’𝐷’. Cela sera le plan qui coupe notre parallélépipède. On rappelle que pour trouver l'aire d'un rectangle, on multiplie la longueur par la largeur. On sait que l'une des dimensions de ce rectangle sera de 55 centimètres, mais il faudra trouver la longueur de 𝐴 prime 𝐵. Aucune information sur la longueur de ce segment 𝐴 prime 𝐵 ne nous est donnée, mais considérons-le comme une partie de ce triangle rectangle.

On sait que le triangle 𝐴 prime 𝐴𝐵 sera un triangle rectangle car il fait partie de ce parallélépipède rectangle. Puisque nous avons deux longueurs dans ce triangle rectangle et que nous voulons trouver la longueur de ce troisième côté, alors on peut appliquer le théorème de Pythagore. Celui-ci nous dit que le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. On l'écrit souvent comme suit : 𝑐 au carré égale 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré, où 𝑐 est l'hypoténuse et 𝑎 et 𝑏 sont les deux autres côtés.

Admettons donc qu’on définit par la lettre 𝑥 la longueur du segment 𝐴 prime 𝐵. On peut alors compléter avec les valeurs données. L'hypoténuse sera égale à 𝑥. Il s'agit du côté le plus long, et il est toujours opposé à l'angle droit. Et les carrés des deux autres côtés peuvent être écrits dans n'importe quel ordre, ainsi, nous aurons 𝑥 au carré égale 92 au carré plus 69 au carré. Sans utiliser la calculatrice, on peut calculer ces carrés comme suit : 8464 plus 4761, ce qui nous donne 13225. Nous devons ensuite prendre la racine carrée des deux membres de cette équation afin de trouver la valeur de 𝑥.

Ainsi 𝑥 égale la racine carrée de 13225. Pour 𝑥, l'unité sera le centimètre car 𝑥 est une longueur. Normalement, à ce stade, quand nous utilisons le théorème de Pythagore en trois dimensions ou en trigonométrie tridimensionnelle et que nous avons une valeur non utilisée dans nos calculs, on garde cette valeur sous cette forme de racine carrée. Or, 13225 est en fait un carré parfait, ce qui veut dire que lorsque nous calculons la racine carrée, on obtient une valeur entière.

En fait, cette racine carrée de 13225 vaut 115. Donc 𝑥 est de 115 centimètres. Nous avons donc maintenant la longueur et la largeur du rectangle 𝐶𝐵𝐴 prime 𝐷 prime. On peut donc trouver l'aire en multipliant la longueur et la largeur. On va donc calculer 115 fois 55. Ce qui nous donne l'aire du rectangle 𝐶𝐵𝐴 prime 𝐷 prime comme étant égale 6325 centimètres carrés.

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