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Le rayon de Bohr est une constante physique égale à la distance entre le noyau et l’électron d’un atome d’hydrogène à l’état fondamental. Sa valeur est donnée par la formule 𝑎 zéro est égal à quatre 𝜋𝜀 zéro ℎ barre au carré divisé par 𝑚 indice e 𝑞 indice e au carré. Calculez la valeur du rayon de Bohr. Utilisez une valeur de 8,85 fois 10 puissance moins 12 farads par mètre pour la permittivité du vide, 1,05 fois 10 puissance moins 34 joules secondes pour la constante de Planck réduite, 9,11 fois 10 puissance moins 31 kilogrammes pour la masse d’un électron au repos, et 1,60 fois 10 puissance moins 19 coulombs pour la charge d’un électron. Donnez votre réponse en notation scientifique arrondie à deux décimales près.
On nous a donc donné cette formule ici pour le rayon de Bohr 𝑎 zéro. Et notre tâche est d’utiliser cette formule pour calculer la valeur de ce rayon de Bohr. Nous pouvons voir que dans la seconde moitié du texte de la question, on nous donne les valeurs de toutes les différentes grandeurs qui apparaissent sur le côté droit de la formule.
Pour répondre à cette question, libérons de l’espace au tableau. En faisant cela, notons toutes ces valeurs qui ont été données. Voici la formule qui nous a été donnée dans la question. Dans cette formule, on nous a dit que la permittivité du vide, c’est-à-dire la grandeur 𝜀 zéro, est égale à 8,85 fois 10 puissance moins 12 farads par mètre. On nous dit également que la constante de Planck réduite, soit ℎ barre, a une valeur de 1,05 fois 10 puissance moins 34 joules secondes. Pour rappel, rappelons que cette constante de Planck réduite ℎ barre est simplement égale à la constante de Planck régulière avec pour symbole ℎ divisé par deux 𝜋.
Pour la masse d’un électron au repos 𝑚 indice e, on nous donne une valeur de 9,11 fois 10 puissance moins 31 kilogrammes. Et pour la charge d’un électron 𝑞 indice e, nous avons une valeur de 1,60 fois 10 puissance moins 19 coulombs. Il convient de mentionner brièvement que cette valeur est en fait l’intensité de la charge d’un électron. L’électron est une particule chargée négativement, ce qui signifie que sa charge réelle aurait un signe négatif. Dans cette formule pour le rayon de Bohr, nous sommes simplement préoccupés par l’intensité de cette charge. En fait, puisque 𝑞 indice e apparaît à la puissance deux dans cette formule, alors même si nous incluions un signe négatif dans la charge de l’électron, lorsque nous la mettons, nous aurions moins par moins. Ainsi, les signes négatifs s’annuleraient.
Nous savons que cette grandeur 𝑎 zéro que nous calculons est cette constante connue sous le nom de rayon de Bohr. La question nous a dit que ce rayon de Bohr est égal à la distance entre le noyau et l’électron à l’état fondamental d’un atome d’hydrogène. Rappelons qu’un atome d’hydrogène est un atome qui n’a qu’un seul proton comme noyau et un seul électron en orbite. Rappelons également que dans le modèle de Bohr de l’atome, il y a un noyau chargé positivement au centre, que nous avons représenté avec ce cercle rouge ici. Et puis des électrons chargés négativement gravitent autour de ce noyau sur des orbites circulaires de rayons particuliers définis que nous avons illustrés avec ces cercles noirs sur notre figure.
Parmi ces cercles, celui sur lequel un électron donné est en orbite dépend du niveau d’énergie de l’électron. Un électron dont le niveau d’énergie est égal à un, qui est le niveau d’énergie le plus bas possible, se trouve sur l’orbite la plus proche du noyau. La prochaine orbite circulaire correspond à un niveau d’énergie de deux. Et le suivant est trois, et ainsi de suite pour des valeurs plus grandes de niveau d’énergie.
Maintenant, nous pensons ici à un atome d’hydrogène qui, nous le savons, n’a qu’un seul électron. Et nous savons que le rayon de Bohr est la distance entre le noyau et l’électron lorsque un atome d’hydrogène est à l’état fondamental. Un atome est à l’état fondamental lorsque tous ses électrons sont dans les plus bas niveaux d’énergie possibles. Pour l’hydrogène, alors, avec un seul électron, à l’état fondamental, cet électron doit avoir un niveau d’énergie de un. Et ce sera donc sur l’orbite circulaire la plus proche du noyau. Sur notre figure, nous l’avons montré avec ce cercle bleu représentant l’électron.
Nous avons donc maintenant un schéma de l’hydrogène dans son état fondamental selon le modèle d’atome de Bohr. Nous savons que le rayon de Bohr est la distance entre le noyau et l’électron dans cet état fondamental de l’hydrogène. Donc, sur notre schéma, c’est la distance entre ce noyau ou ce proton et l’orbite circulaire la plus proche, que nous savons être l’orbite sur laquelle l’électron sera à l’état fondamental.
Maintenant que nous avons récapitulé à quoi correspond réellement ce rayon de Bohr que nous calculons, allons-y et déterminons sa valeur. Pour ce faire, tout ce que nous devons faire est de prendre ces valeurs qui nous sont données et de les insérer dans cette formule, puis calculer le côté droit de l’expression. Faisons un peu de place sur le tableau pour pouvoir commencer.
En insérant ces valeurs dans cette formule, nous obtenons ici cette expression pour le rayon de Bohr 𝑎 zéro. Donc, au numérateur, cela fait quatre 𝜋 multiplié par la valeur de 𝜀 zéro, c’est la permittivité du vide, multipliée par le carré de la constante de Planck réduite ℎ barre. Tout cela est divisé par la masse d’un électron au repos 𝑚 indice e et du carré de la charge d’un électron 𝑞 indice e. Notez que toutes les unités du côté droit sont des unités de base SI ou, dans le cas des farads, des joules et des coulombs, peuvent être exprimées uniquement en unités de base SI. Cela signifie que lorsque nous utiliserons ces valeurs pour calculer le rayon de Bohr 𝑎 zéro, il sera donné dans l’unité de base SI pour la distance, qui est le mètre.
Dans cet esprit, réorganisons maintenant cette expression. Dans cette deuxième expression, plutôt que d’écrire toutes les différentes unités sur le côté droit, nous avons simplement écrit les unités de mètres que nous savons être celles de notre résultat 𝑎 zéro. Nous avons également séparé toutes ces valeurs de toutes ces puissances de 10. Cela signifie que nous pouvons ensuite travailler ces deux parties de l’expression séparément avant de les multiplier ensemble.
Commençons par considérer les puissances de 10. Pour cela, il y a deux identités que nous allons trouver utiles. La première est que si nous avons une valeur 𝑐 élevée à la puissance 𝑥 multipliée par la même valeur 𝑐 à la puissance 𝑦, alors cela est égal à 𝑐 à la puissance 𝑥 plus 𝑦. La deuxième identité est que 𝑐 puissance 𝑥 divisé par 𝑐 puissance 𝑦 est égal à 𝑐 à la puissance 𝑥 moins 𝑦.
Maintenant, dans ce terme dans notre expression, le numérateur a 10 puissance moins 12 multiplié par le carré de 10 puissance moins 34. Nous pouvons écrire le carré de 10 puissance moins 34 comme 10 puissance moins 34 fois 10 puissance moins 34. Ensuite, en comparant avec cette identité ici, nous voyons que nous pouvons réécrire le numérateur comme 10 puissance moins 12 moins 34 moins 34, ce qui équivaut à 10 à la puissance moins 80.
Nous pouvons maintenant faire la même chose au dénominateur. Ici, nous avons 10 puissance moins 31 multiplié par le carré de 10 puissance moins 19. Cela peut être réécrit comme 10 puissance moins 31 moins 19 moins 19, ce qui donne 10 puissance moins 69. Nous avons donc maintenant 10 puissance moins 80 divisé par 10 puissance moins 69. En comparant avec cette deuxième identité, nous voyons que nous pouvons réécrire cette fraction comme 10 puissance moins 80 moins moins 69. Ces deux signes moins ici finissent par devenir plus, ce qui nous donne 10 puissance moins 80 plus 69, ce qui équivaut à 10 puissance moins 11.
Maintenant que nous avons simplifié ce deuxième terme, tournons notre attention vers le premier terme de l’expression. Au numérateur, nous avons quatre 𝜋 multiplié par 8,85 multiplié par 1,05 au carré. Nous pouvons taper ceci dans une calculatrice pour obtenir un résultat de 122,6116 et ainsi de suite avec des décimales supplémentaires. Ensuite, au dénominateur, nous avons 9,11 multiplié par le carré de 1,60. Cela correspond exactement à 23,3216. En divisant ce numérateur par ce dénominateur, nous obtenons un résultat de 5,2574 avec des décimales supplémentaires.
En regardant ces deux parties que nous avons trouvées ensemble, nous pouvons voir que nous avons maintenant une valeur pour le rayon de Bohr 𝑎 zéro. Nous avons constaté qu’elle est égale à 5,2574 et ainsi de suite fois 10 puissance moins 11 mètres.
La dernière chose à rappeler est que la question voulait notre réponse en notation scientifique arrondie à deux décimales près. La valeur que nous avons trouvée pour le rayon de Bohr est déjà en notation scientifique, il suffit donc de l’arrondir à deux décimales. Pour ce faire, nous devons vérifier la troisième décimale, qui est égale à sept. Comme ce nombre est supérieur ou égal à cinq, cela signifie que la valeur de la deuxième décimale est arrondie à l’excès.
Et donc notre réponse est que, en notation scientifique, à deux décimales près, le rayon de Bohr a une valeur de 5,26 fois 10 puissance moins 11 mètres.
