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Vidéo question :: Déterminer la limite unilatérale d’une fonction à partir de son graphique en un point, si elle existe Mathématiques • Deuxième année secondaire

Déterminez lim_ (𝑥 → −3⁻) 𝑓 (𝑥).

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Transcription de la vidéo

Déterminez la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins trois par la gauche.

Nous avons un graphique de la fonction 𝑓 de 𝑥. Et nous devons l’utiliser pour trouver la limite de cette fonction lorsque 𝑥 tend vers moins trois par la gauche. Écrivons à nouveau cette limite. La valeur vers laquelle 𝑥 tend est moins trois. Nous nous demandons donc vers quelle valeur 𝑓 de 𝑥 se rapproche de plus en plus alors que 𝑥 se rapproche de plus en plus de moins trois. D’accord, maintenant que pensez-vous de ce signe moins en exposant à côté du moins trois ? Qu’est-ce que cela signifie ?

En regardant une droite numérique, nous pouvons voir qu’il y a deux façons dont 𝑥 peut tendre vers moins trois. Soit 𝑥 tend vers moins trois à gauche, en passant par moins cinq puis moins quatre puis moins 3,5 puis moins 3,1 et ainsi de suite. Dans ce cas, 𝑥 est toujours inférieur à moins trois même s’il tend vers moins trois. Alternativement, 𝑥 peut tendre vers moins trois à droite. Dans ce cas, 𝑥 est toujours supérieur à moins trois alors qu’il tend vers moins trois. Il prend la valeur zéro puis moins un puis moins deux puis moins 2,9 puis moins 2,999 et ainsi de suite en restant toujours supérieur à moins trois mais en s’en rapprochant de plus en plus.

Le signe moins en exposant dans la limite nous indique que nous nous soucions uniquement du cas où 𝑥 tend vers moins trois à gauche. Regardons alors notre graphique. On a 𝑥 tend vers moins trois à gauche avec 𝑥 inférieur à moins trois. La question est de savoir quelle valeur 𝑓 de 𝑥 approche lorsque 𝑥 varie de cette manière. Par exemple, nous pouvons lire la valeur de 𝑓 de moins cinq. Il s’agit de moins deux. De la même manière, nous pouvons voir que 𝑓 de moins quatre vaut un. Puis 𝑓 de moins 3,5 semble être juste en dessous de deux. Et comme 𝑥 tend vers moins trois depuis cette direction, 𝑓 de 𝑥 semble se tendre vers deux. Voici donc notre réponse. La limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins trois à gauche vaut deux. La valeur vers laquelle 𝑓 de 𝑥 tend lorsque 𝑥 tend vers moins trois à gauche, est deux.

Si au lieu de cela nous devions trouver la limite lorsque 𝑥 tend vers moins trois avec ce signe plus en exposant de 𝑓 de 𝑥, alors nous serions intéressés par la valeur vers laquelle 𝑓 de 𝑥 tend lorsque 𝑥 tend vers moins trois, avec 𝑥 supérieur à moins trois. Encore une fois, nous pouvons utiliser notre graphique pour cela. Lorsque 𝑥 tend vers trois avec 𝑥 supérieur à trois, 𝑓 de 𝑥 tend vers zéro. La valeur de cette limite est donc zéro.

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