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Vidéo question :: Déterminer si un losange est un quadrilatère inscriptible Mathématiques • Troisième préparatoire

Vrai ou Faux : tous les losanges sont des quadrilatères inscriptibles.

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Transcription de la vidéo

Vrai ou Faux : tous les losanges sont des quadrilatères inscriptibles.

Nous pouvons commencer par rappeler qu’un quadrilatère inscriptible est un quadrilatère dont les quatre sommets appartiennent à un cercle. Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés sont de même longueur. Dans la figure ci-dessous, on nous donne un losange. Notez que les quatre côtés sont de même longueur. Nous pouvons utiliser les propriétés des angles pour prouver qu’un quadrilatère est ou n’est pas inscriptible. Si nous considérons les angles formés par les côtés avec les diagonales, nous pouvons utiliser la propriété selon laquelle si tout angle formé par une diagonale et un côté est égal à l’angle formé par l’autre diagonale et le côté opposé, alors le quadrilatère est inscriptible.

Considérons alors certaines des propriétés du losange. Il y a deux paires de côtés parallèles. Et comme nous pouvons le voir sur la figure, les diagonales sont perpendiculaires les unes aux autres. On peut aussi dire qu’elles sont médiatrices l’une de l’autre. Alors considérons un des angles de ce losange. Prenons l’angle 𝐴𝐵𝐷. S’il s’agissait d’un quadrilatère inscriptible, alors la mesure de cet angle 𝐴𝐵𝐷 serait égale à la mesure de l’angle 𝐴𝐶𝐷. Mais nous ne pouvons pas prouver qu’ils sont de même mesure. La seule mesure d’angle qui est égale à celle de 𝐴𝐵𝐷 est celle de l’angle 𝐵𝐷𝐶. Cela vient du fait que nous avons deux droites parallèles, 𝐴𝐵 et 𝐵𝐶 et la sécante 𝐵𝐷.

De la même manière, nous pouvons prouver que la mesure de l’angle 𝐵𝐴𝐶 est égale à la mesure de l’angle 𝐴𝐶𝐷. Mais cela n’aide pas à prouver que le losange est inscriptible. Il faudrait que ces angles en haut ou ces angles à la base soient de même mesure. En fait, la seule manière d’obtenir que ces paires d’angles soient de même mesure serait d’avoir les quatre angles de même mesure. Dans ce cas, le losange aurait quatre angles intérieurs de 90 degrés et ce serait en fait un carré. Donc, quand un losange est un carré, c’est un quadrilatère inscriptible. Mais on ne peut pas dire que tous les losanges sont inscriptibles. Par conséquent, la réponse est faux.

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