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Vidéo question :: Déterminer la mesure de l’angle entre un plan et une droite Mathématiques • Troisième année secondaire

Déterminez, au degré près, la mesure de l’angle compris entre le plan d’équation 2(𝑥−3)−8(𝑦+2)+ 3𝑧=4 et la droite d’équation (𝑥−3)/6=(𝑦+1)/2=(𝑧−1)/4.

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Transcription de la vidéo

Déterminez, au degré près, la mesure de l’angle entre le plan d’équation deux fois 𝑥 moins trois, moins huit fois 𝑦 plus deux, plus trois 𝑧 égale quatre et la droite d’équation 𝑥 moins trois sur six égale 𝑦 plus un sur deux égale 𝑧 moins un sur quatre.

Dans cette question, on a un plan et une droite. Et on veut déterminer la mesure de l’angle entre ces deux objets. Pour résoudre ce problème, on va devoir trouver un vecteur normal à notre plan et un vecteur parallèle à notre droite. La raison en est qu’il existe une formule du sinus de l’angle entre un plan et une droite dans laquelle cela nous sera utile. En effet, cette équation implique un vecteur parallèle à la droite et un vecteur normal au plan. On va donc essayer de trouver ces deux vecteurs.

Commençons par considérer l’équation de notre plan. On va la réorganiser un peu dans le but d’obtenir l’équation de notre plan sous forme cartésienne. Si on développe le membre de gauche de l’équation et qu’on soustrait quatre aux deux membres avant de réduire l’expression résultante, on obtient une forme cartésienne de l’équation de notre plan. On peut alors rappeler que pour un plan écrit sous cette forme, les coefficients de 𝑥, 𝑦 et 𝑧 sont les coordonnées respectives d’un vecteur normal à ce plan. Donc, un vecteur normal à notre plan est le vecteur de coordonnées deux, moins huit, trois.

Voyons à présent comment utiliser l’équation de notre droite pour trouver un vecteur qui lui est parallèle. Voici la ligne d’égalité constituant l’ équation de notre droite. L’équation de la droite peut s’écrire ainsi car chacune de ces trois fractions est égale à un même facteur. On peut noter ce facteur 𝑡.

Cela va nous permettre d’écrire ce qu’on appelle une représentation paramétrique de notre droite. Elle comprend trois équations, une pour 𝑥, une pour 𝑦 et une pour 𝑧. Pour établir une équation pour les coordonnées 𝑥 des points de notre droite, on utilise le fait que 𝑥 moins trois sur six est égal à 𝑡. Cela nous permet d’écrire que 𝑥 est égal à six fois 𝑡 plus trois. Pour notre équation en 𝑦, on se sert du fait que 𝑦 plus un sur deux est égal à 𝑡. Il en découle que 𝑦 est égal à deux fois 𝑡 moins un. De la même manière, 𝑧 moins un sur quatre égale 𝑡 nous permet d’écrire que 𝑧 est égal à quatre fois 𝑡 plus un.

On a maintenant trois équations paramétriques pour notre droite. Et on peut former une unique équation qui résume ces trois équations. Si on note 𝐫 le vecteur qui représente un point de notre droite, alors on peut déduire de nos équations paramétriques que cette droite passe par le point trois, moins un, un et est parallèle au vecteur six, deux, quatre. On dispose donc à présent des coordonnées d’un vecteur parallèle à notre droite et des coordonnées d’un vecteur normal à notre plan.

En remplaçant ces vecteurs dans notre équation du sinus de l’angle entre une droite et un plan, on obtient cette expression. Pour évaluer cette expression, on commence par calculer le produit scalaire au numérateur et les carrés de nos coordonnées au dénominateur, puis on simplifie pour obtenir huit sur la racine carrée de 56 fois 77. Cette fraction est égale au sinus de l’angle dont on cherche la mesure.

Pour obtenir cette mesure, on applique la fonction réciproque du sinus des deux côtés de l’équation. En utilisant une calculatrice, on trouve que c’est égal à sept degrés en arrondissant au degré près. Il s’agit de la mesure de l’angle entre le plan et la droite donnés dans l’énoncé.

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