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Vidéo question :: Déterminer le moment d’un couple équivalent à un système de trois forces agissant sur un triangle Mathématiques • Troisième année secondaire

𝐴𝐵𝐶 est un triangle où 𝐵𝐶 = 48 cm, et trois forces d’intensités 13, 13 et 24 newtons agissent respectivement le long de [𝐶𝐴], [𝐴𝐵] et [𝐵𝐶]. Si le système de forces est équivalent à un couple, déterminez la norme de son moment.

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𝐴𝐵𝐶 est un triangle où 𝐵𝐶 est égal à 48 centimètres, et trois forces d’intensités 13, 13 et 24 newtons agissent respectivement le long de segments 𝐶𝐴, 𝐴𝐵 et 𝐵𝐶. Si le système de forces est équivalent à un couple, déterminez la norme de son moment.

Nous commençons en faisant un schéma de notre triangle. Nous avons un triangle 𝐴𝐵𝐶, où la longueur 𝐵𝐶 est de 48 centimètres. Nous allons ajouter les forces d’intensité 13, 13 et 24 newtons au schéma. Une force de 13 newtons agit le long de du segment 𝐶𝐴, comme indiqué. Une autre force de 13 newtons agit le long du segment 𝐴𝐵. Et puis la force de 24 newtons agit de 𝐵 à 𝐶.

Ensuite nous pouvons utiliser la relation entre la longueur du segment 𝐵𝐶 et la force qui agit le long de ce segment pour calculer la longueur des segments 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶. Nous remarquons que le rapport entre 48 et 24 est égal à un demi. Et donc les segments 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶 ont 26 centimètres chacun pour que le rapport entre les longueurs et les forces de ces côtés soit le même.

Et cela est vraiment utile car on nous dit que le système de forces équivaut à un couple. Et donc si nous prenons la somme des moments par rapport à n’importe quel point de ce triangle, nous obtiendrons la même valeur. Nous allons donc déterminer la norme du moment en prenant les moments autour d’un point donné. Nous pourrions choisir n’importe quel point de notre triangle. Prenons le point 𝐴 et considérons le sens des aiguilles d’une montre comme le sens positif.

Le moment est le produit de la force perpendiculaire et de la distance au pivot. Alors, la seule force à laquelle cela s’applique réellement est la force agissant de 𝐵 à 𝐶. Nous voyons qu’elle agit en un point situé à 26 centimètres de 𝐴, mais la force de 24 newton n’agit sous un angle de 90 degrés. Nous devons donc calculer la composante de cette force qui est perpendiculaire au segment 𝐴𝐵.

Pour ce faire, nous allons utiliser la loi des cosinus pour trouver l’angle 𝐴𝐵𝐶 que nous avons étiqueté 𝜃. La loi des cosinus nous dit que cos de 𝐵 est égal à 𝑎 au carré plus 𝑐 au carré moins 𝑏 au carré sur deux 𝑎𝑐. Dans ce cas, le cos de 𝜃 est de 48 au carré plus 26 au carré moins 26 au carré sur deux fois 48 fois 26. Et cela signifie que nous pouvons évaluer le cos de 𝜃 exactement. 26 au carré moins 26 au carré est zéro. Ensuite, nous pouvons simplifier en divisant par 48.

Nous nous retrouvons donc avec 48 sur deux fois 26. Et puis nous pouvons diviser le numérateur et le dénominateur de cette fraction par quatre. Et donc cos de 𝜃 simplifie à 12 sur 13. Et bien que nous puissions prendre la réciproque du cosinus ou arc cosinus des deux côtés de cette équation pour trouver la valeur de 𝜃, nous pouvons en fait utiliser le théorème de Pythagore pour trouver la valeur exacte pour sin de 𝜃. Puisque le rapport cosinus relie le côté adjacent et l’hypoténuse dans un triangle rectangle et que cinq au carré plus 12 au carré égale 13 au carré, nous savons que le troisième côté de ce triangle, le côté opposé, doit être de cinq unités. Et donc dans ce triangle, le sin de 𝜃 est cinq sur 13.

On verra la raison pour laquelle cela va être utile bientôt. Pour l’instant, nous devons déterminer la composante de la force de 24 newtons qui est perpendiculaire au segment 𝐴𝐵. Puisqu’ils sont perpendiculaires, ils se rencontrent à un angle de 90 degrés. Et donc l’angle à l’extérieur du triangle ici, nous pouvons l’étiqueter comme étant 90 moins 𝜃. Et donc la composante de la force de 24 newtons qui est perpendiculaire à 𝐴𝐵 se trouve en considérant le côté adjacent dans ce triangle rectangle. Et c’est donc 24 cos de 90 moins 𝜃. Cela signifie que le moment est le produit de 24 cos de 90 moins 𝜃 et de la distance du pivot, 26.

Et finalement, nous remarquons que nous pouvons évaluer le cos de 90 moins 𝜃 en utilisant le sin de 𝜃. Et bien sûr, nous avons calculé que le sin de 𝜃 était de cinq sur 13. Et donc le moment va être 24 fois cinq sur 13 fois 26. Simplifions cette expression en divisant par 13. Et nous obtenons 24 fois cinq sur un fois deux. Ensuite, cinq sur un fois deux font 10, donc cela devient 24 fois 10, ce qui fait 240. Et c’est la norme du moment. Puisque nous travaillons en newtons et centimètres, le moment est donné en newton centimètres. Et donc, étant donné les informations sur notre système de forces, la norme de son moment est de 240 newtons centimètres.

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