Vidéo question :: Identifier les parties d'un nombre complexe Mathématiques

Transcription de la vidéo

Que représente l'argument d'un nombre complexe ? S'agit-il de (A) sa coordonnée imaginaire dans le plan complexe ? (B) sa coordonnée réelle dans le plan complexe. Est-ce (C) l'angle formé avec l'axe des réels positifs ? Ou (D) l'angle formé avec l'axe imaginaire positif. Enfin, s'agit-il de (E) sa distance à l'origine dans le plan complexe.

Rappelons d'abord les différentes façons dont on peut représenter un nombre complexe. Il existe la forme algébrique. 𝑧 égale 𝑎 plus 𝑏𝑖. Dans ce cas, 𝑎 et 𝑏 doivent être des nombres réels. Quand un nombre s'écrit sous cette forme, on dit que 𝑎 est la partie réelle du nombre complexe, tandis que 𝑏 est la partie imaginaire. Et si on devait tracer ce point sur le plan complexe, 𝑎 serait la coordonnée réelle et 𝑏 serait la coordonnée imaginaire.

Jusque-là, aucun détail ne nous a permis de décrire l'argument. La forme polaire d'un nombre complexe est donc le type qui nous intéresse. Nous avons aussi la forme exponentielle d'un nombre complexe. La forme polaire est la suivante : 𝑧 est égal à 𝑟 cosinus 𝜃 plus 𝑖 sinus 𝜃, tandis que la forme exponentielle est 𝑟𝑒 à la puissance 𝑖𝜃. Alors, que représentent exactement les valeurs 𝑟 et 𝜃 ? Eh bien, pour ces deux formes, 𝑟 est le module du nombre complexe. On l’obtient en calculant la racine carrée de la somme des carrés des parties réelles et imaginaires de la forme algébrique. Cela veut dire, essentiellement, que lorsque nous représentons le point 𝑎, 𝑏 dans le plan complexe, 𝑟 nous indique à quelle distance de l'origine notre point se trouve.

Et enfin, 𝜃 est l'argument. Voilà ce qui nous intéresse. Supposons que la partie réelle et la partie imaginaire de notre nombre complexe soient positives. Traçons une droite qui relie ce point à l'origine, puis faisons un triangle rectangle . 𝜃 est alors l'angle que forme la droite 𝑟 avec l'axe des réels positifs. Et en fait, peu importe si 𝑎 et 𝑏 ne sont pas réels. 𝜃 reste l'angle formé avec l'axe des réels positifs.

Alors comparons cela à nos options. On voit que (A), la coordonnée imaginaire dans le plan complexe, est donnée par la valeur de 𝑏. La coordonnée réelle dans le plan complexe est donnée par la valeur de 𝑎 dans la forme algébrique. 𝜃 l'argument est l'angle formé avec l'axe des réels positifs. On n'a pas défini l'angle formé avec l'axe des imaginaires positifs, même si on pourrait le calculer. Quant à 𝑟, c'est sa distance par rapport à l'origine dans le plan complexe. La réponse est donc (C). L'argument est l'angle formé avec l'axe des réels positifs.