Vidéo question :: Détermination de l’intensité de la somme vectorielle des moments de trois forces agissant le long d’un triangle équilatéral Mathématiques

Transcription de la vidéo

Trois forces, mesurées en newtons, agissent le long des côtés d’un triangle équilatéral 𝐴𝐵𝐶 comme indiqué sur le schéma. Étant donné que le côté du triangle mesure sept centimètres, déterminez la somme des moments des forces autour du milieu du segment 𝐴𝐵 au centième près.

Eh bien, alors en regardant notre schéma, on voit ce triangle équilatéral 𝐴𝐵𝐶. On remarque également qu’il y a des forces de différentes intensités agissant sur chaque côté. Ce que l’on veut faire, c’est calculer la somme des moments créés par ces forces autour du milieu du segment 𝐴𝐵. Ce segment est ici, et on peut dire que le milieu de ce segment est juste en ce point rose. Ce que l’on va faire, c’est calculer le moment de ces trois forces autour de ce point, puis additionner ces moments vectoriellement.

On commence par rappeler que le moment créé par une force est égal à la composante de cette force qui est perpendiculaire à la distance entre le point où la force est appliquée et l’axe de rotation fois cette distance. Dans notre situation, cet axe de rotation est le milieu du segment 𝐴𝐵. Sachant que l’on va utiliser cette relation pour chacune de nos trois forces, notons que chaque côté de notre triangle équilatéral mesure sept centimètres de long. On appelle cette longueur 𝑠, puis on fait de l’espace en haut de notre écran, afin que l’on puisse commencer à calculer les moments dus à chacune de nos trois forces.

On va appeler ces moments 𝑀 300, 𝑀 100 et 𝑀 150, indiquant les forces qui les entraînent. Et le moment total, on l’appelle 𝑀 tout simplement, est la somme des autres trois. Comme on l’a vu, le moment créé par une force dépend de la distance entre la ligne d’action de cette force et l’axe de rotation. Si l’on considère la force de 300 newtons, sa ligne d’action ressemble à ceci, et on voit que cela passe par le milieu du segment 𝐴𝐵. Par conséquent, pour le moment créé par la force de 300 newtons, 𝑑 est zéro. Autrement dit, il n’y a pas de distance perpendiculaire entre l’endroit où cette force est appliquée et l’axe de rotation. Par conséquent, le moment créé par cette force autour de notre axe de rotation particulier est nul.

Sachant cela, calculons le moment créé par la force de 100 newtons. La ligne d’action de cette force ressemble à ceci. Si l’on dit que la distance 𝑑 entre l’axe de rotation et le point d’application de la force est indiquée ici, cela signifie que l’on veut savoir quelle composante de la force de 100 newtons agit le long de cette droite bleue, qui est perpendiculaire à la droite orange. Si l’on acquiesce cela, alors cela est 𝐹 perpendiculaire par lequel on multiplie 𝑑 pour calculer le moment 𝑀. Pour calculer cette composante de force, il nous faut cet angle ici. Appelons cet angle 𝜃.

À ce stade, on doit rappeler que l’on travaille avec un triangle équilatéral. Cela nous dit que tous les angles intérieurs de notre triangle sont les mêmes, et qu’ils mesurent 60 degrés. Ce fait nous aide à calculer 𝜃 car 60 degrés plus 𝜃 est égal à 90 degrés. C’est le cas parce que notre droite bleue est à 90 degrés par rapport à notre droite orange. Et on peut voir que cet angle est composé de 60 degrés et de 𝜃. Cela implique que 𝜃 est égal à 30 degrés. Et ensuite, on peut dire que pour cette force particulière, la composante perpendiculaire de cette force est égale à 100, soit 100 newtons, multipliée par le cos de 30 degrés.

Lorsque l’on prend le cosinus de 30 degrés et on le multiplie par la force de 100 newtons, on obtient la composante de cette force de 100 newtons. Notons que si l’on avait pris le sinus au lieu du cosinus, on aurait la composante de force parallèle à 𝑑, plutôt que la perpendiculaire. En d’autres termes, on obtiendrait 𝐹 parallèle.

Selon notre équation pour le moment, la prochaine chose à faire est de multiplier cette composante perpendiculaire de notre force par 𝑑. De notre schéma, on peut voir que 𝑑 est la moitié de la longueur du segment 𝐴𝐵. La longueur de 𝐴𝐵 est égale à la longueur d’un côté de notre triangle, sept centimètres. Laissant de côté les unités, 𝑑 est égal à un demi fois sept. Alors, ce produit est égal au moment créé par notre force de 100 newtons. Et notons que le cosinus de 30 degrés est égal à la racine carrée de trois sur deux. Cette expression est alors égale à 100 sur quatre fois sept fois racine trois ou égale 175 fois la racine carrée de trois.

Ce que l’on a calculé ici est la norme du moment créé par notre force de 100 newtons autour de notre point d’intérêt. Observons cependant que, selon notre schéma, il y a un signe associé aux moments. Un moment qui tend à créer une rotation dans le sens inverse des aiguilles d’une montre est positif. Et on voit que le moment créé par cette force aurait tendance à tourner dans le sens horaire autour de notre point d’intérêt, autrement dit, il serait négatif. Cela signifie que lorsque l’on introduit la valeur pour 𝑀 indice 100, on utilise moins 175 fois la racine de trois. Cela prend en compte le signe de notre moment. Ok, ça suffit pour le moment créé par la force de 100 newtons. Ensuite, on se dédie au celui créé par la force de 150 newtons.

Encore une fois, on regarde la ligne d’action de la force, et on veut savoir quelle composante de cette force est perpendiculaire à cette distance 𝑑. On trace une droite qui fait 90 degrés par rapport à 𝑑. Puis on veut connaître cet angle-là, que l’on va appeler 𝜙. Si l’on étend la droite orange, alors on remarque que l’angle entre ces deux droites ici est le même que cet angle intérieur de notre triangle. En d’autres termes, il mesure 60 degrés. Et encore une fois, on a cet angle de 60 degrés qui ajouté à notre angle inconnu fait 90 degrés. 60 degrés plus 𝜙 est égal à 90 degrés. Et donc 𝜙, tout comme 𝜃, est de 30 degrés.

L’intensité de notre force qui est perpendiculaire à 𝑑 est alors 150 fois le cosinus de 30 degrés. Et pour calculer la norme du moment créé par cette force, on le multiplie par 𝑑. Encore une fois, c’est sept sur deux. Rappelant que le cosinus de 30 degrés est égal à la racine carrée de trois sur deux, cette expression est égale à 525 sur deux fois la racine carrée de trois.

Le moment créé par cette force, tout comme celui créé par la force de 100 newtons, tend également à créer une rotation dans le sens horaire autour de notre axe de rotation. Par notre convention de signes, c’est aussi un moment négatif, et l’on substitue cette valeur pour 𝑀 150. On a maintenant une expression que l’on peut évaluer pour le moment total 𝑀 créé par ces trois forces. En entrant cette expression sur notre calculatrice et en arrondissant notre résultat au centième près, on obtient un résultat de moins 757,77. Rappelons que nos unités sont des newtons, les unités des forces, multipliées par centimètres, les unités de distance. Notre réponse finale est alors que le moment total créé par ces forces autour du milieu du segment 𝐴𝐵 est moins 757,77 newton-centimètres.