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Vidéo de la leçon: Collisions et conservation de la quantité de mouvement Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à appliquer la loi de conservation de la quantité de mouvement pour étudier les collisions sur un axe et différencier les collisions élastiques et non élastiques.

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Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à appliquer le principe de conservation de la quantité de mouvement pour étudier les collisions à une dimension et à faire la distinction entre les collisions élastiques et inélastiques.

Nous commencerons par rappeler la relation entre l’impulsion produite par une force et sa variation da la quantité du mouvement. Plus précisément, pensons à un corps de masse constante. Le vecteur d’impulsion 𝐉 produit par l’action d’un vecteur de force 𝐓 sur un intervalle de temps 𝑡 indice un à 𝑡 indice deux est égal à la variation de la quantité du mouvement du corps. Voyons en particulier à quoi cela ressemble.

Considérons deux particules un et deux avec le vecteur de la quantité du mouvement 𝐏 indice un 𝑖 et le vecteur 𝐏 indice deux 𝑖, respectivement. Pendant le moment où elles entrent en collision, la particule un exerce une force vectorielle 𝐅 indice un deux sur la particule deux, tandis que la particule deux exerce une force vectorielle de 𝐅 indice deux un sur la particule un. Ces deux forces résultent purement de l’interaction entre les deux particules. Plus précisément, la troisième loi du mouvement de Newton nous dit que ces forces sont de même intensité mais de sens opposé. On peut donc dire que le vecteur 𝐅 indice un deux est égal à l’opposé du vecteur 𝐅 indice deux un.

A cause de la force exercée par la particule deux sur la particule un pendant la collision, la particule un subit une variation de la quantité de mouvement. Cette variation de la quantité de mouvement, la variation du vecteur 𝐏 indice un, est égale à la différence entre le vecteur 𝐏 indice un 𝑓, c’est la quantité de mouvement finale, et le vecteur 𝐏 indice un 𝑖, c’est la quantité de mouvement initiale. Et cela est bien sûr égal au vecteur d’impulsion 𝐉 indice un, qui peut à son tour être considéré comme l’intégrale définie entre 𝑡 indice un et 𝑡 indice deux. C’est l’instant de la collision du vecteur 𝐅 indice deux un par rapport à 𝑡.

De la même manière, nous pouvons calculer la variation de la quantité de mouvement de la particule deux. C’est égale à la différence entre le vecteur 𝐏 indice deux 𝑓, c’est la quantité de mouvement finale de cette particule, et le vecteur 𝐏 indice deux 𝑖, la quantité de mouvement initiale de cette particule. Mais rappelez-vous, nous avons dit que le vecteur 𝐅 indice un deux est égal à l’opposé du vecteur 𝐅 indice deux un. Donc, à son tour, nous pouvons dire que l’impulsion 𝐉 indice un est égale à l’opposé de l’impulsion 𝐉 indice deux. Cela nous permet alors d’identifier que la variation de la quantité de mouvement de la première particule est égale à l’opposée de la variation de la quantité de mouvement de la seconde. Nous pouvons alors réorganiser cette formule pour montrer un fait vraiment important. En ajoutant la variation de la quantité de mouvement de la deuxième particule aux deux membres, nous constatons que la variation de la quantité de mouvement de la particule un plus la variation de la quantité de mouvement de la particule deux est égale à zéro.

Alors, que nous dit cette déclaration finale ? Elle dit qu’il n’y a pas de changement dans la quantité de mouvement totale des deux particules pendant la collision. En d’autres termes, la quantité de mouvement totale est constante. Et cela nous permet de dire que la quantité de mouvement est une quantité conservée.

Définissons cela un peu plus formellement. Le principe de la conservation de la quantité de mouvement nous dit que si nous prenons deux ou plusieurs corps dans un système isolé, en d’autres termes, un système qui signifie qu’il n’y a pas de forces extérieures agissant sur celui-ci et que ces corps agissent les uns sur les autres, leur quantité de mouvement totale reste constante. En particulier, la somme vectorielle de la quantité de mouvement est égale à zéro. Nous savons donc que pour toute collision entre deux particules, la quantité de mouvement totale est conservée si nous supposons qu’il n’y a pas d’autres interactions que celle entre les particules en collision. Et notez que bien que nous ayons fourni ces définitions en utilisant des quantités vectorielles, dans la pratique, nous avons tendance à travailler avec des valeurs scalaires. Et le principe de la conservation de la quantité de mouvement nous permet de le faire avec un minimum de préoccupation.

Donc, dans cet esprit, regardons la résolution d’un problème qui implique de trouver l’impulsion lors d’une collision entre deux objets qui se rapprochent.

Deux sphères, 𝐴 et 𝐵, de masse égale ont été projetées l’une vers l’autre le long d’une droite horizontale à 19 centimètres par seconde et 29 centimètres par seconde, respectivement. À la suite de l’impact, la sphère 𝐵 a rebondi à 10 centimètres par seconde. Trouvez la vitesse de la sphère 𝐴 après la collision étant donné que sa direction initiale est la direction positive.

Nous voyons d’abord qu’on nous dit que la direction initiale de la sphère 𝐴 est positive. Nous pourrions donc commencer par dessiner un croquis de cette situation. Nous avons les sphères 𝐴 et 𝐵 qui se rapprochent à 19 centimètres par seconde et 29 centimètres par seconde, respectivement. La sphère 𝐴 se déplace dans le sens positif, ce qui signifie que la sphère 𝐵 se déplace dans le sens négatif. On nous dit aussi que chaque sphère a une masse égale. Définissons donc la masse de chacune de nos sphères comme étant 𝑚 grammes.

Maintenant, en pratique, nous avons tendance à travailler avec des kilogrammes et des mètres par seconde. Mais ici, nous travaillons avec des centimètres par seconde. Et il est donc plus habituel d’être cohérent et d’utiliser des grammes. Nous allons commencer par calculer la quantité de mouvement initiale de ce système. Nous savons que la quantité de mouvement est conservée. Cela nous permettra donc de comparer la quantité de mouvement initiale avec la quantité de mouvement finale, ce qui devrait alors nous permettre de calculer la vitesse finale de la sphère 𝐴. Nous savons également que nous calculons souvent la quantité de mouvement en utilisant des quantités vectorielles pour la quantité de mouvement et la vitesse. Puisque le moment et la vitesse peuvent être considérés comme des vecteurs dans une direction, cela signifie que nous pouvons également généraliser cela pour les quantités scalaires.

Donc, nous savons que nous pouvons définir la quantité de mouvement initiale de la sphère 𝐴 comme 𝑝 indice 𝐴, 𝑖. Et c’est sa masse fois sa vitesse. C’est 𝑚 fois 19 ou 19𝑚. De la même manière, nous pouvons calculer la quantité de mouvement initiale pour la sphère 𝐵. 𝑝 indice 𝐵, 𝑖, c’est la quantité de mouvement initiale, est la masse multipliée par la vitesse. Donc, c’est 𝑚 fois moins 29 ou moins 29𝑚. Ensuite, nous pouvons calculer la quantité de mouvement totale dans le système - appelons cela 𝑝 indice totale 𝑖, la quantité de mouvement totale initiale - en trouvant la somme de la quantité de mouvement initiale de 𝐴 et 𝐵. Cela fait 19𝑚 plus moins 29𝑚, ce qui est moins 10𝑚.

Maintenant que nous avons identifié ce qui se passe avant la collision, réfléchissons à ce qui se passe immédiatement après. On nous dit que les sphères rebondissent. En d’autres termes, elles se déplacent immédiatement après la collision dans des sens opposés. On nous dit que la sphère 𝐵 rebondit à 10 centimètres par seconde, donc elle se déplace dans le sens opposé à cette vitesse. Nous essayons de trouver la vitesse de la sphère 𝐴. Définissons donc cela comme 𝑣 centimètres par seconde. Et nous supposons que cela va dans le sens négatif.

Ensuite, nous calculons la quantité de mouvement totale en considérant la quantité de mouvement finale de chaque sphère. La quantité de mouvement finale de la sphère 𝐴 va être moins 𝑚𝑣, tandis que la quantité de mouvement finale de la sphère 𝐵, appelons cela 𝑝 indice 𝐵, 𝑓, est la masse multipliée par la vitesse, soit 10𝑚. Ensuite, nous trouvons leur somme pour trouver la quantité de mouvement totale finale. C’est moins 𝑚𝑣 plus 10𝑚.

Maintenant, selon le principe de conservation de la quantité de mouvement, la quantité de mouvement totale avant la collision doit être égale à la quantité de mouvement totale après la collision. En d’autres termes, moins 10𝑚 doit être égal à moins 𝑚𝑣 plus 10𝑚. Libérons un peu d’espace et résolvons cette équation. Pour ce faire, on peut commencer par remarquer que chaque expression de cette équation contient un facteur 𝑚. Nous avons également défini 𝑚 comme étant la masse de chaque objet, elle ne peut donc pas être égale à zéro, ce qui signifie que nous pouvons diviser notre équation entière par 𝑚. Lorsque nous le faisons, nous obtenons moins 10 est égal à moins 𝑣 plus 10. En soustrayant 10 des deux membres, et notre équation devient moins 20 égale moins 𝑣.

Et donc la vitesse de la sphère après la collision est de 20 centimètres par seconde. Mais bien sûr, nous définissons ce mouvement comme étant à gauche. Puisque la vitesse est directionnelle et que nous définissons le sens vers la droite comme positif, nous devons dire que la vitesse finale de la sphère 𝐴 est moins 20 centimètres par seconde.

Maintenant, à ce stade, il convient de noter que nous aurions pu modéliser le mouvement après la collision un peu différemment. En d’autres termes, nous aurions pu définir la flèche 𝑣 centimètres par seconde comme se déplaçant vers la droite. Si nous avions fait cela à ce stade, nous aurions obtenu 𝑣 égal à moins 20 centimètres par seconde, indiquant ainsi que l’objet se déplace vers la gauche. De toute façon, la vitesse est moins 20 centimètres par seconde.

Nous allons maintenant démontrer comment ce processus peut déterminer l’impulsion de la force de la collision des corps se déplaçant dans des sens opposés ainsi que la vitesse d’un corps après la collision.

Deux sphères de masses de 200 grammes et 350 grammes se déplaçaient l’une vers l’autre le long de la même droite horizontale. La première se déplaçait à 14 mètres par seconde et la seconde à trois mètres par seconde. Les deux sphères se sont heurtées. En conséquence, la première sphère a rebondi à sept mètres par seconde dans le sens opposé. Étant donné que le sens positif est le sens du mouvement de la première sphère avant l’impact, déterminez l’impulsion 𝐼 de la deuxième sphère exercée sur la première et la vitesse 𝑣 de la deuxième sphère après l’impact.

Maintenant, avant d’aller plus loin, nous pouvons observer qu’avec nos vitesses, nous travaillons en mètres par seconde, tandis qu’avec les masses, nous travaillons en grammes. Nous allons donc convertir leurs masses en unités de masse SI, le kilogramme. Pour ce faire, nous divisons chacun par 1000. Nous obtenons respectivement 0,2 kilogramme et 0,35 kilogramme.

Alors, comment pouvons-nous calculer l’impulsion 𝐼 que la deuxième sphère a exercée sur la première ? Eh bien, d’abord, nous savons que les grandeurs des impulsions sur les sphères sont égales. Nous avons également des informations sur la vitesse de la première sphère avant et après la collision. Cela signifie que nous pouvons calculer la variation de vitesse de la première sphère due à la collision. Si nous appelons cela le changement dans 𝑣 indice 𝑎, où 𝑎 est le nom de la première sphère, alors nous pouvons dire que cela est égal à sa vitesse finale moins sa vitesse initiale.

Maintenant, comme elle se déplaçait initialement dans le sens positif, elle rebondira et se déplacera dans le sens négatif. Cela signifie que si elle voyage à une vitesse de sept mètres par seconde, sa vitesse est moins sept. Donc, la variation de la vitesse est moins sept moins 14. Et c’est moins 21 mètres par seconde. Ensuite, nous pouvons calculer l’impulsion sur la première sphère en trouvant sa variation de la quantité de mouvement. La quantité de mouvement est bien sûr la masse multipliée par la vitesse. Nous avons donc pu calculer la quantité de mouvement avant et après et les soustraire. Ou bien, nous pouvons multiplier la quantité de mouvement par la variation de la vitesse. Pour notre première sphère, on peut alors dire que sa masse est de 0,2 et que sa variation de vitesse est moins 21. Donc, l’impulsion sur cette sphère est de 0,2 fois moins 21, et c’est moins 4,2. Et les unités que nous utilisons sont des Newton-secondes.

Ensuite, nous savons qu’une impulsion de même intensité, mais de signe opposé, agit sur la deuxième sphère. En d’autres termes, l’impulsion sur la deuxième sphère doit être de 4,2 newton-secondes. Mais bien sûr, nous pouvons lier cela à la variation de sa quantité de mouvement. Cela signifie qu’elle est égale à sa masse multipliée par sa variation de vitesse. Maintenant, comme elle se déplaçait initialement dans le sens négatif à une vitesse de trois mètres par seconde, sa variation de vitesse est 𝑣 moins moins trois. Donc, sa variation de la quantité de mouvement est 0,35 fois 𝑣 moins moins trois. Ce membre de droite équivaut à 0,35 fois 𝑣 plus trois. Et nous avons calculé que l’impulsion sur la deuxième sphère était de 4,2. On peut donc dire que 4,2 égale 0,35 fois 𝑣 plus trois.

Ensuite, nous divisons par 0,35. Maintenant, 4,2 divisé par 0,35 est tout simplement 12. Ensuite, nous soustrayons trois des deux membres. 12 moins trois, c’est neuf. Nous avons donc calculé que 𝑣 est égal à neuf mètres par seconde. Et donc nous avons répondu à la question. L’impulsion que la deuxième sphère a exercée sur la première, que nous avons définie précédemment comme 𝐽 indice 𝑎, est en fait égale moins 4,2 newton-secondes. De même, la vitesse 𝑣 de la deuxième sphère est la norme de neuf mètres par seconde, qui est simplement de neuf mètres par seconde.

Dans les deux exemples que nous avons vus jusqu’à présent, nous avons montré comment utiliser la conservation de la quantité de mouvement pour calculer différentes quantités après une collision. Il convient de noter à ce stade que si la quantité de mouvement est conservée, cela ne signifie pas nécessairement que l’énergie cinétique est conservée. En fait, il existe trois situations. La première est dite une collision élastique. Il s’agit d’une collision au cours de laquelle l’énergie cinétique est conservée. Dans une collision inélastique, une partie de l’énergie cinétique est dissipée dans le frottement entre les particules. Enfin, nous avons quelque chose appelée une collision parfaitement inélastique. Maintenant, dans cette collision, l’énergie cinétique est dissipée dans le frottement comme dans la définition précédente. Mais les particules sont également liées ensemble, ce qui leur donne la même vitesse après la collision. Cela peut parfois être appelé coalescence.

Dans notre dernier exemple, nous examinerons le mouvement de deux particules après une collision inélastique.

Deux sphères se déplacent le long d’une ligne droite. L’une a une masse 𝑚 et se déplace à la vitesse 𝑣, tandis que l’autre a une masse de 10 g et se déplace à 36 centimètres par seconde. Si les deux sphères se déplaçaient dans le même sens lors de leur collision, elles se regrouperaient en un seul corps et se déplaceraient à 30 centimètres par seconde dans le même sens. Cependant, si elles se déplaçaient dans des sens opposés, elles se regrouperaient en un seul corps, qui se déplacerait à six centimètres par seconde dans le sens dans lequel la première sphère se déplaçait. Trouvez 𝑚 et 𝑣.

Avec les informations qui nous ont été données, nous allons mettre en place une paire d’équations simultanées en 𝑚 et 𝑣 en utilisant la conservation de la quantité de mouvement. En particulier, nous allons utiliser la formule : la quantité de mouvement est égale à la masse multipliée par la vitesse.

Commençons par identifier le sens vers la droite pour être positif. Ensuite, nous pouvons dire que la quantité de mouvement de la première sphère est 𝑚 fois 𝑣. La quantité de mouvement de la deuxième sphère est 10 fois 36. C’est 360, ce qui nous donne une quantité de mouvement totale avant la collision de 𝑚𝑣 plus 360. Par le principe de la conservation de la quantité de mouvement, nous savons que celle-ci doit être égale à la quantité de mouvement totale après la collision. La nouvelle masse du corps est de 10 plus 𝑚, tandis que sa vitesse est de 30. Comme elle est dans le même sens, elle reste positive, ce qui signifie que la quantité de mouvement après la collision est de 30 fois 10 plus 𝑚. En distribuant les parenthèses et en réarrangeant, nous pouvons former une équation, 60 égal à 30𝑚 moins 𝑚𝑣.

Maintenant que nous avons cette équation, complétons le processus pour la deuxième situation. Dans cette situation, ces sphères se déplacent dans des sens opposés. Cela signifie que la vitesse de la deuxième sphère doit être moins 36. Ainsi, la quantité de mouvement totale est 𝑚𝑣 moins 360 avant la collision. Après la collision, elles fusionnent, ce qui nous donne une masse totale de 10 plus 𝑚. Et elles se déplacent à six centimètres par seconde, toujours dans le sens positif. Cette fois, si nous distribuons les parenthèses et réarrangeons, nous obtenons l’équation moins 420 égale six 𝑚 moins 𝑚𝑣.

Et maintenant, nous pourrions observer que nous pouvons calculer assez rapidement la valeur de 𝑚 ici. Nous avons un système d’équations dans lequel nous avons le même terme moins 𝑚𝑣. Définissons ces équations comme étant un et deux, respectivement. Ensuite, si nous soustrayons une équation de l’autre, et peu importe dans quel sens nous le faisons, ce terme moins 𝑚𝑣 disparaîtra. 60 moins moins 420 est 480. Ensuite, 30𝑚 moins six 𝑚 est égal à 24𝑚, et moins 𝑚𝑣 moins moins 𝑚𝑣 est égal à zéro. Si nous divisons ensuite par 24, nous constatons que 𝑚 est égal à 20 ou 20 grammes.

Ensuite, nous pouvons trouver la valeur de 𝑣 en la substituant dans l’une ou l’autre de nos équations. Lorsque nous le faisons, nous obtenons 60 est égal à 30 fois 20 moins 20𝑣, ce qui nous donne moins 540 est égal à moins 20𝑣. Enfin, nous divisons par moins 20, et nous trouvons que 𝑣 est égal à 27 centimètres par seconde. 𝑚 est de 20 grammes et 𝑣 est de 27 centimètres par seconde.

Nous allons maintenant récapituler les points clés de cette leçon. Dans cette leçon, nous avons vu que la quantité de mouvement d’un vecteur corporel 𝐩 est donnée par 𝑚 fois le vecteur vitesse 𝐯 mais que nous travaillons généralement avec la forme scalaire 𝑝 égale 𝑚𝑣. Nous avons également vu que si nous travaillons dans un système fermé, la quantité de mouvement totale est conservée. En d’autres termes, la quantité de mouvement totale avant la collision est égale à la quantité de mouvement totale après la collision. Nous avons vu que l’impulsion est égale à la variation de la quantité de mouvement. Et nous avons appris ce que signifie qu’une collision est élastique, inélastique et parfaitement inélastique.

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